1、1第 2 讲 线性规划与基本不等式考情考向分析 1.线性规划的要求是 A 级，主要考查线性目标函数在给定区域上的最值.2.基本不等式是江苏考试说明中的 C 级内容，高考会重点考查主要考查运用基本不等式求最值及其在实际问题中的运用，试题难度中档以上热点一 简单的线性规划问题例 1 (1)(2017全国)设 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x2 y 的最小值为_答案 5解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由 z3 x2 y 得 y x ，求 z 的最小值，即求直线 y x 在 y 轴上的截距的最大值，32 z2 32 z2当直线 y x 过图中点 A 时，其在
2、 y 轴上的截距最大，由Error!解得 A 点坐标为(1,1)，32 z2此时 z3(1)215.(2)已知实数 x， y 满足Error!则 的取值范围是_yx2答案 13， 23解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，1)，(3,2)和 为顶点的三角形及其内部，(32， 12)设 z ，则 z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当 z 经过(3，1)时yx yx取得最小值 ，经过点(3,2)时取得最大值 ，故 的取值范围是 .13 23 yx 13， 23思维升华 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是： 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的
3、直线的斜率进行比较；一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得跟踪演练 1 (1)设变量 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z ax y 的最小值为2，则 a_.答案 2解析 约束条件对应的可行域是以点(1,1)，(1,3)和(2,2)为顶点的三角形及其内部当a1 时，当目标函数所在直线 y ax z 经过点(1,1)时， z 取得最小值，则zmin a12，即 a3(舍去)；当 a2 时，由相应二次函数 y t2 mt1 的对称轴 t 1，则函数 y2 x 的最小值为_42x 1答案 5解析 x1，2 x10， y2 x1 12 15，42x 1 2x 142x 1当
4、且仅当 2x1 ，即 x 时，等号成立42x 1 324(2018常州期末)各项均为正数的等比数列 中，若 a2a3a4 a2 a3 a4，则 a3的最小an值为_答案 3解析 因为 是各项均为正数的等比数列，且 a2a3a4 a2 a3 a4，所以 a a3 a2 a4，an 3则 a a3 a2 a42 2 a3，(当且仅当 a2 a4，即数列 an为正数常数列时取等号)3 a2a4即 a30，即 a 3， a3 ，即 a3的最小值为 .(a23 3) 23 3 35若点 A(m， n)在第一象限，且在直线 1 上，则 mn 的最大值是_x3 y4答案 3解析 点 A(m， n)在第一象限
5、，且在直线 1 上，x3 y4所以 m， n0，且 1，所以 2，m3 n4 m3 n4 (m3 n42 )，(当 且 仅 当m3 n4 12， 即 m 32， n 2时 ， 取 “ ”)所以 2 ，即 mn3，m3 n4 (12) 14所以 mn 的最大值为 3.6设 P 是函数 y (x1)图象上异于原点的动点，且该图象在点 P 处的切线的倾斜角为x ，则 的取值范围是_10答案 3， 2)解析 因为 y (x1) 12x x 3x 12x 2 ，32x 12x 32x12x 3当且仅当 ，即 x 时“”成立32x 12x 13所以切线的斜率 ktan ，3又 0，)，所以 . 3， 2)
6、7已知正数 a， b，满足 5，则 ab 的最小值为_1a 9b ab答案 36解析 正数 a， b 满足 5，1a 9b ab 52 ，ab1a9b化为( )25 60，解得 6，ab ab ab当且仅当 ， 5，即 a2， b18 时取等号，解得 ab36.1a 9b 1a 9b ab8(2018扬州期末)已知正实数 x， y 满足 x y xy，则 的最小值为3xx 1 2yy 1_答案 52 6解析 正实数 x， y 满足 x y xy， 1，1x 1y ，3xx 1 2yy 1 31 1x 21 1y故得到 5 52 ，3xx 1 2yy 1 ( 31 1x 21 1y)(1x 1y
7、)3(1 1y)1 1x2(1 1x)1 1y 6等号成立的条件为 1 1 ，即 x y2.1x 1y9若 ABC 的内角满足 sin A sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_2答案 6 2411解析 由 sin A sin B2sin C，2及正弦定理得 a b2 c.2又由余弦定理得 cos Ca2 b2 c22ab a2 b2 a 2b242ab34a2 12b2 2ab22ab ，2 (34a2)(12b2) 2ab22ab 6 24当且仅当 a2 时等号成立，34 b22故 cos C0， y0， x， a， b， y 成等差数列， x， c， d， y 成等比数列，
8、则 的最小值a b2cd为_答案 4解析 由题意知，Error!12所以 a b2cd x y2xy x2 y2 2xyxy 2224，x2 y2xy当且仅当 x y 时，等号成立12已知二次函数 f(x) ax2 x c(xR)的值域为0，)，则 的最小值为c 2a a 2c_答案 10解析 由 f(x)的值域为0，)可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为 0，因此有 0，从而 c 0，4ac 14a 14a所以 24210，c 2a a 2c (2a 8a) (14a2 4a2)当且仅当Error!即 a 时取等号12故所求的最小值为 10.13(2018江苏如东高级中学等五校联考
9、)已知 a， b， c(0，)，则的最小值为_a2 b2 c22 52bc ac答案 4解析 a2 b2 c2 (a215c2) (b2 45c2) ac bc，25 45即 ac2 bc ，当且仅当 a ， b 时等号成立，52(a2 b2 c2) c5 2c5则 (a2 b2 c2)2 5ac 2bc (a2 b2 c2)2 552(a2 b2 c2) 4(经验证两次等号可同时取得 )，25(a2 b2 c2)52(a2 b2 c2)所以 的最小值为 4.(a2 b2 c2)2 52bc ac14已知函数 f(x)| x2|.(1)解不等式 f(x) f(2x1)6；13(2)已知 a b
10、1( a， b0)，且对于 xR， f(x m) f( x) 恒成立，求实数 m 的取4a 1b值范围解 (1) f(x) f(2x1)| x2|2 x1|Error!当 x 时，由 33 x6，解得 x1；12当 x2 时， x16 不成立；12当 x2 时，由 3x36，解得 x3.不等式的解集为(，13，)(2) a b1( a， b0)， ( a b) 5 52 9，4a 1b (4a 1b) 4ba ab 4baab当且仅当 a ， b 时等号成立，23 13对于 xR， f(x m) f( x) 恒成立等价于对 xR，| x2 m| x2|9，4a 1b即| x2 m| x2| max9，| x2 m| x2|( x2 m)( x2)|4 m|，9 m49，13 m5.
