1、1圆的第二定义阿波罗尼斯圆一、问题背景苏教版数学必修 2P112 第 12 题：已知点 M(x， y)与两个定点 O(0,0)， A(3,0)的距离之比为 ，那么点 M 的坐标应满足什么关12系？画出满足条件的点 M 所构成的曲线二、阿波罗尼斯圆公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆如图，点 A， B 为两定点，动点 P 满足 PA PB .则 1 时，动点 P 的轨迹为直线；当 1 时，动点 P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆证：设 AB2 m(m0)，
2、PA PB ，以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A( m,0)， B(m,0)又设 P(x， y)，则由 PA PB 得 ，x m2 y2 x m2 y2两边平方并化简整理得( 21) x22 m( 21) x( 21) y2 m2(1 2)当 1 时， x0，轨迹为线段 AB 的垂直平分线；当 1 时， 2 y2 ，轨迹为以点 为圆心， 为半(x 2 1 2 1m) 4 2m2 2 12 ( 2 1 2 1m， 0) | 2 m 2 1|2径的圆上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理三、阿波罗尼斯圆的性质1满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比
3、 内分 AB 和外分 AB 所得的两个分点2直线 CM 平分 ACB，直线 CN 平分 ACB 的外角3. .AMBM ANBN4 CM CN.5当 1 时，点 B 在圆 O 内；当 0 1 时，点 A 在圆 O 内6若 AC， AD 是切线，则 CD 与 AO 的交点即为 B.7若过点 B 做圆 O 的不与 CD 重合的弦 EF，则 AB 平分 EAF.四、范例欣赏例 1 设 A( c,0)， B(c,0)(c0)为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a0)，求 P 点的轨迹解 设动点 P 的坐标为( x， y)，由 a(a0)，得 a.PAPB x c2 y
4、2x c2 y2化简得(1 a2)x22 c(1 a2)x c2(1 a2)(1 a2)y20.当 a1 时，得 x2 x c2 y20，整理得 2 y2 2.2c1 a21 a2 (x 1 a2a2 1c) (2aca2 1)当 a1 时，化简得 x0.所以当 a1 时， P 点的轨迹是以 为圆心，(a2 1a2 1c， 0)为半径的圆；|2aca2 1|当 a1 时， P 点的轨迹为 y 轴例 2 如图，圆 O1与圆 O2的半径都是 1， O1O24，过动点 P 分别作圆 O1，圆 O2的切线3PM， PN(M， N 分别为切点)，使得 PM PN，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹
5、方2程4解 以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则 O1(2,0)， O2(2,0)，由已知 PM PN，得 PM22 PN2，2因为两圆的半径均为 1，所以 PO 12( PO 1)，21 2设 P(x， y)，则( x2) 2 y212( x2) 2 y21即( x6) 2 y233，所以所求轨迹方程为( x6) 2 y233.例 3 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l： y2 x4，设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 y x1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)
6、若圆 C 上存在点 M，使 MA2 MO，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围解 (1)联立Error!得圆心为 C(3,2)切线的斜率存在，设切线方程为 y kx3.d r1，|3k 3 2|1 k2得 k0 或 k .34故所求切线方程为 y3 或 3x4 y120.(2)设点 M(x， y)，由 MA2 MO，知2 ，x2 y 32 x2 y2化简得 x2( y1) 24.即点 M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D.又因为点 M 在圆 C 上，故圆 C 与圆 D 的关系为相交或相切故 1 CD3，其中 CD .a2 2a 325解得 0 a .125例 4 在 x
7、 轴正半轴上是否存在两个定点 A， B，使得圆 x2 y24 上任意一点到 A， B 两点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点 A， B 坐标；如果不存在，请说明理由12解 假设在 x 轴正半轴上存在两个定点 A， B，使得圆 x2 y24 上任意一点到 A， B 两点的距离之比为常数 ，设 P(x， y)， A(x1,0)， B(x2,0)，其中 x2 x10.12即 对满足 x2 y24 的任何实数对( x， y)恒成立，x x12 y2x x22 y2 12整理得，2 x(4x1 x2) x 4 x 3( x2 y2)，将 x2 y24 代入得，2 212x(4x1 x2) x 4 x
8、12，这个式子对任意 x2,2恒成立，2 21所以一定有Error!因为 x2 x10，所以解得 x11， x24.所以在 x 轴正半轴上存在两个定点 A(1,0)， B(4,0)，使得圆 x2 y24 上任意一点到 A， B两点的距离之比为常数 .12五、跟踪演练1满足条件 AB2， AC BC 的 ABC 的面积的最大值是_2答案 2 2解析 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)， B(1,0)，设C(x， y)，由 AC BC，得 .2 x 12 y2 2 x 12 y2平方化简整理得 y2 x26 x1( x3) 288.| y|2 ，则2S
9、 ABC 2|y|2 ， S ABC的最大值是 2 .12 2 22在 ABC 中，边 BC 的中点为 D，若 AB2， BC AD，则 ABC 的面积的最大值是2_答案 4 2解析 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)， B(1,0)，由 BD CD， BC AD 知， AD BD， D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为( x3) 2 y28，设2 2C(x， y)，得 D ，所以点 C 的轨迹方程为 2 2 8，即( x5) 2 y232.(x 12 ， y2) (x 12 3) (y2)6所以 S ABC 2|y| y| 4 ，故 S ABC的最大
10、值是 4 .12 32 2 23在平面直角坐标系 xOy 中，设点 A(1,0)， B(3,0)， C(0， a)， D(0， a2)，若存在点 P，使得 PA PB， PC PD，则实数 a 的取值范围是_2答案 2 1,2 12 2解析 设 P(x， y)，则 ，x 12 y2 2 x 32 y2整理得( x5) 2 y28，即动点 P 在以(5,0)为圆心，2 为半径的圆上运动2另一方面，由 PC PD 知动点 P 在线段 CD 的垂直平分线 y a1 上运动，因而问题就转化为直线 y a1 与圆( x5) 2 y28 有交点所以| a1|2 ，2故实数 a 的取值范围是2 1，2 12
11、 24.如图，在等腰 ABC 中，已知 AB AC， B(1,0)， AC 边的中点为 D(2,0)，则点 C 的轨迹所包围的图形的面积等于_答案 4解析 因为 AB2 AD，所以点 A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为( x3)2 y24( y0)设 C(x， y)，由 AC 边的中点为 D(2,0)，知 A(4 x， y)，所以 C 的轨迹方程为(4 x3)2( y)24，即( x1) 2 y24( y0)，所求的面积为 4.5如图，已知平面 平面 ， A， B 是平面 与平面 的交线上的两个定点，DA ， CB ，且 DA ， CB ， AD4， BC8， AB6，在平面 上有一个动点
12、 P，使得 APD BPC，求 PAB 的面积的最大值解 DA ， PA ， DA PA，在 Rt PAD 中，tan APD ，ADAP 4AP同理 tan BPC .BCBP 8BP APD BPC，7 BP2 AP.在平面 上以线段 AB 的中点为原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)， B(3,0)，设 P(x， y)，则有 2 (y0)x 32 y2 x 32 y2化简得( x5) 2 y216， y216( x5) 216.| y|4. PAB 的面积为 S PAB |y|AB3| y|12，当且仅当 x5， y4 时取得等号，则12PAB 的面积的
13、最大值是 12.6已知 O： x2 y21 和点 M(4,2)(1)过点 M 向 O 引切线 l，求直线 l 的方程；(2)求以点 M 为圆心，且被直线 y2 x1 截得的弦长为 4 的 M 的方程；(3)设 P 为(2)中 M 上任一点，过点 P 向 O 引切线，切点为 Q，试探究：平面内是否存在一定点 R，使得 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理PQPR由解 (1)直线 l 的斜率存在，设切线 l 方程为 y2 k(x4)，易得 1，解得 k .|4k 2|k2 1 81915切线 l 的方程为 y2 (x4)81915(2)圆心到直线 y2 x1 的距离为
14、，设圆的半径为 r，则 r22 2( )29，5 5 M 的方程为( x4) 2( y2) 29.(3)假设存在这样的点 R(a， b)，点 P 的坐标为( x， y)，相应的定值为 .根据题意可得 PQ ，x2 y2 1 ，x2 y2 1x a2 y b2即 x2 y21 2(x2 y22 ax2 by a2 b2)(*)又点 P 在圆 M 上，( x4) 2( y2) 29，即 x2 y28 x4 y11，代入(*)式得8x4 y12 2(82 a)x(42 b)y( a2 b211)，若系数对应相等，则等式恒成立，Error!8解得 a2， b1， 或 a ， b ， ，225 15 103可以找到这样的定点 R，使得 为定值，如点 R 的坐标为(2,1)时，比值为 ，点 R 的坐PQPR 2标为 时，比值为 .(25， 15) 103
