1、1(四)解析几何1(2018苏州市高新区一中考试)如图，椭圆 C： 1( ab0)的上、下顶点分别为x2a2 y2b2A， B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OP AF.(1)若点 P 的坐标为( ，1)，求椭圆 C 的方程；3(2)延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，已知椭圆的离心率为 ，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的22m 倍，求实数 m 的值解 (1)因为点 P( ，1)，3所以 kOP ，13又因为 AF OP， 1，bc 13所以 c b，所以 3a24 b2，3又点 P( ，1)在椭圆 C 上，3所以 1，3a2 1b2解得 a2 ， b2 .133 134故
2、椭圆方程为 1.x2133y21342(2)因为 e ，ca 22即 ，a2 b2a2 12所以 .b2a2 12又因为 kAQkBQ ，yQ bxQ yQ bxQ y2Q b2x2Q b2a2所以 m 2.kOPkBQ 1kAQkBQ a2b22.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ，直线x2a2 y2b2 32l： y x 与椭圆 E 相交于 A， B 两点， AB2 ， C， D 是椭圆 E 上异于 A， B 的两点，且12 10直线 AC， BD 相交于点 P，直线 AD， BC 相交于点 Q.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)求证：直线 PQ
3、的斜率为定值(1)解 因为 e ，ca 32所以 c2 a2，即 a2 b2 a2，34 34所以 a2 b.所以椭圆方程为 1.x24b2 y2b2由题意不妨设点 A 在第二象限，点 B 在第四象限，由Error! 得 A .( 2b，22b)又 AB2 ，所以 OA ，10 10则 2b2 b2 b210，12 52得 b2， a4.所以椭圆 E 的标准方程为 1.x216 y243(2)证明 由(1)知，椭圆 E 的方程为 1，x216 y24A(2 ， )， B(2 ， )2 2 2 2当直线 CA， CB， DA， DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线 CA， DA 的斜率分别为k
4、1， k2， C(x0， y0)，显然 k1 k2.从而 k1kCB y0 2x0 22 y0 2x0 22 y20 2x20 8 ，所以 kCB .4(1 x2016) 2x20 82 x204x20 8 14 14k1同理 kDB .14k2所以直线 AD 的方程为 y k2(x2 )，直线 BC 的方程为 y (x2 )，2 2 214k1 2由Error!解得Error!从而点 Q 的坐标为 .(22 4k1k2 4k1 14k1k2 1 ， 2 4k1k2 4k2 14k1k2 1 )用 k2代替 k1， k1代替 k2得点 P 的坐标为 .(22 4k1k2 4k2 14k1k2
5、1 ， 2 4k1k2 4k1 14k1k2 1 )所以 kPQ2 4k1k2 4k2 14k1k2 1 2 4k1k2 4k1 14k1k2 122 4k1k2 4k1 14k1k2 1 22 4k1k2 4k2 14k1k2 1 .42k2 k182k2 k1 12即直线 PQ 的斜率为定值 .12当直线 CA， CB， DA， DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线 CA 的斜率不存在，从而 C(2 ， )2 2设 DA 的斜率为 k，由知， kDB .14k因为直线 CA： x2 ，直线 DB： y (x2 )，2 214k 2得 P .( 2
6、2， 22k)又直线 BC： y ，直线 AD： y k(x2 )，2 2 24得 Q ，( 2222k， 2)所以 kPQ .12由可知，直线 PQ 的斜率为定值 .123.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的离心率是 ，右准线的方程为 xx2a2 y2b2 32.433(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P ，过 x 轴上的一个定点 M 作直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，若三条直线(12， 2)PA， PM， PB 的斜率成等差数列，求点 M 的坐标解 (1)因为椭圆的离心率为 ，右准线的方程为 x ，32 433所以 e ， ，则 a2， c ， b1
7、，ca 32 a2c 433 3椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 M(m,0)，当直线 l 为 y0 时， A(2,0)， B(2,0)，PA， PM， PB 的斜率分别为kPA ， kPM ， kPB ，45 41 2m 43因为直线 PA， PM， PB 的斜率成等差数列，所以 ， m8.81 2m 45 43证明如下：当 M(8,0)时，直线 PA， PM， PB 的斜率构成等差数列，设 AB： y k(x8)，代入椭圆方程 x24 y240，得 x24 k2(x8) 240，即(14 k2)x264 k2x256 k240，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，5因为
8、 x1,2 ，64k2 64k22 41 4k2256k2 421 4k2所以 x1 x2 ， x1x2 ，64k21 4k2 256k2 41 4k2又 kPM ，0 28 12 415所以 kPA kPB y1 2x1 12y2 2x2 12 kx1 8k 2x1 12kx2 8k 2x2 122 k (152k 2)( 1x1 12 1x2 12)2 k (152k 2) x1 x2 1x1x2 12x1 x2 142 k (152k 2)64k21 4k2 1256k2 41 4k2 1264k21 4k2 142 k 2 kPM，即证(152k 2) 60k2 115460k2 1
9、8154(2018江苏省前黄中学等五校联考)如图，已知椭圆 E： 1( ab0)的左顶点x2a2 y2b2A(2,0)，且点 在椭圆上， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点过点 A 作斜率为( 1，32)k(k0)的直线交椭圆 E 于另一点 B，直线 BF2交椭圆 E 于点 C.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若 CF1F2为等腰三角形，求点 B 的坐标；(3)若 F1C AB，求 k 的值解 (1)由题意得Error!解得Error!6椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23(2) CF1F2为等腰三角形，且 k0，点 C 在 x 轴下方，若 F1C F2C，则 C(0， )；3若 F
10、1F2 CF2，则 CF22， C(0， )；3若 F1C F1F2，则 CF12， C(0， )，3 C(0， )3直线 BC 的方程为 y (x1)，3由Error! 得Error!或Error! B .(85， 335)(3)设直线 AB 的方程 lAB： y k(x2)，由Error! 得(34 k2)x216 k2x16 k2120， xAxB2 xB ，16k2 123 4k2 xB ， yB k(xB2) ， 8k2 63 4k2 12k3 4k2 B ，( 8k2 63 4k2， 12k3 4k2)若 k ，则 B ， C ，12 (1， 32) (1， 32) F1(1,0)， kCF1 ，34 F1C 与 AB 不垂直， k .12 F2(1,0)， kBF2 ， kCF1 ，4k1 4k2 1k直线 BF2的方程 lBF2： y (x1)，4k1 4k2直线 CF1的方程 lCF1： y (x1)1k由Error! 解得Error! C(8k21，8 k)又点 C 在椭圆上，得 1，8k2 124 8k23即(24 k21)(8 k29)0，即 k2 ，1247 k0， k .612
