1、1提分专练(七) 以圆为背景的计算题与证明题|类型 1| 平面直角坐标系中的圆1.如图 T7-1,在平面直角坐标系 xOy 中,以点 O 为圆心的圆分别交 x 轴的正半轴于点 M,交 y 轴的正半轴于点 N.劣弧 MN的长为 ,直线 y=- x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A,B.65 43(1)求证:直线 AB 与 O 相切;(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用 表示) .图 T7-122.2017酒泉 如图 T7-2,AN 是 M 的直径, NB x 轴, AB 交 M 于点 C.(1)若点 A ,N , ABN=30,求点 B 的坐标;(0,6) (0,2)(2)若 D 为线
2、段 NB 的中点,求证:直线 CD 是 M 的切线 .图 T7-2|类型 2| 垂径定理与勾股定理联手3.2017金华 如图 T7-3,已知: AB 是 O 的直径,点 C 在 O 上, CD 是 O 的切线, AD CD 于点 D.E 是 AB 延长线上的一点, CE 交 O 于点 F,连接 OC,AC.(1)求证: AC 平分 DAO.(2)若 DAO=105, E=30.求 OCE 的度数;若 O 的半径为 2 ,求线段 EF 的长 .2图 T7-33|类型 3| 与圆有关的图形的面积4.2018达州 已知,如图 T7-4,以等边三角形 ABC 的边 BC 为直径作 O,分别交 AB,A
3、C 于点 D,E,过点 D 作 DF AC 于点F.(1)求证: DF 是 O 的切线;(2)若等边三角形 ABC 的边长为 8,求由 ,DF,EF 围成的阴影部分的面积 .图 T7-4|类型 4| 与圆的切线有关的问题45.2017扬州 如图 T7-5,已知 OABC 的三个顶点 A,B,C 在以 O 为圆心的半圆上,过点 C 作 CD AB,分别交 AB,AO 的延长线于点 D,E,AE 交半圆 O 于点 F,连接 CF.(1)判断直线 DE 与半圆 O 的位置关系,并说明理由 .(2)求证: CF=OC;若半圆 O 的半径为 12,求阴影部分的周长 .图 T7-5|类型 5| 圆与四边形
4、结合的问题6.正方形 ABCD 内接于 O,如图 T7-6 所示,在劣弧 AB 上取一点 E,连接 DE,BE,过点 D 作 DF BE 交 O 于点 F,连接BF,AF,且 AF 与 DE 相交于点 G,求证:(1)四边形 EBFD 是矩形;(2)DG=BE.图 T7-65|类型 6| 圆与三角函数结合的问题7.如图 T7-7,AB 是 O 的弦,点 C 为半径 OA 的中点,过点 C 作 CD OA 交弦 AB 于点 E,连接 BD,且 DE=DB.(1)判断 BD 与 O 的位置关系,并说明理由;(2)若 CD=15,BE=10,tanA= ,求 O 的直径 .512图 T7-7|类型
5、7| 圆与相似三角形结合的问题8.2017黄冈 已知:如图 T7-8,MN 为 O 的直径, ME 是 O 的弦, MD 垂直于过点 E 的直线 DE,垂足为点 D,且 ME 平分 DMN.6求证:(1) DE 是 O 的切线;(2)ME2=MDMN.图 T7-8参考答案1.解:(1)证明:作 OD AB 于 D,如图所示:劣弧 MN 的长为 ,65 = ,9018065解得 OM= ,1257即 O 的半径为 ,125直线 y=- x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A,B,43当 y=0 时, x=3;当 x=0 时, y=4, A(3,0),B(0,4), OA=3,OB=4, AB
6、= =5,32+42 AOB 的面积 = ABOD= OAOB,12 12 OD= = =半径, 125直线 AB 与 O 相切 .(2)图中所示的阴影部分的面积 = AOB 的面积 -扇形 OMN 的面积 = 34- =6- .12 14 (125)2 36252.解:(1) A 的坐标为(0,6), N 的坐标为(0,2), AN=4, ABN=30, ANB=90, AB=2AN=8,由勾股定理可知: NB=4 , B(4 ,2).3 3(2)证明:连接 MC,NC. AN 是 M 的直径, ACN=90,8 NCB=90,在 Rt NCB 中, D 为 NB 的中点, CD= NB=N
7、D,12 CND= NCD, MC=MN, MCN= MNC. MNC+ CND=90, MCN+ NCD=90,即 MC CD.直线 CD 是 M 的切线 .3.解:(1)证明: CD 是 O 的切线, OC CD. AD CD, OC AD. DAC= ACO. OA=OC, OAC= ACO. DAC= OAC. AC 平分 DAO.(2) OC AD, EOC= DAO=105. OCE=180- EOC- E=18010530 =45. 如图,过点 O 作 OG CE 于 G,可得 FG=CG.在 Rt OGC 中, OC=2 , OCE=45,2 OG=CG=2 =2. FG=CG
8、=2.222在 Rt OGE 中, OG=2, E=30, EG= = =2 .233 3 EF=EG-FG=2 -2.394.解:(1)证明:连接 OD,CD. BC 是直径, BDC=90. ABC 是等边三角形,点 D 是 AB 的中点 .点 O 是 BC 的中点, OD AC. DF AC, OD DF. OD 是半径, DF 是 O 的切线 .(2)连接 OD,OE,DE.同(1)可知点 E 是 AC 的中点, DE 是 ABC 的中位线, ADE 是等边三角形 .等边三角形 ABC 的边长为 8,等边三角形 ADE 的边长为 4. DF AC, EF=2,DF=2 .3 DEF 的
9、面积 = EFDF= 22 =2 .12 12 3 3 ADE 的面积 = ODE 的面积 =4 .3扇形 ODE 的面积 = = .60423608310阴影部分的面积 = DEF 的面积 + ODE 的面积 -扇形 ODE 的面积 =2 +4 - =6 - .3 383 3835.解:(1) DE 与半圆 O 相切 .理由如下: CD AB, D=90.四边形 ABCO 是平行四边形, OC AD, OCE= D=90, OC DE.又 OC 是半圆 O 的半径, DE 与半圆 O 相切 .(2) 证明:连接 AC,四边形 ABCO 是平行四边形, AB=OC,BC AF, BCA= FA
10、C, = , BA=CF, CF=OC. CF=OC=OF, OCF 为等边三角形, COF=60,在 Rt OCE 中, CE= OC=12 ,OE=2OC=24,3 3 EF=12, = =4,6012180 C 阴影部分 =EF+CE+ =12+12 +4 . 36.解析 (1)直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出 BED= BAD=90, BFD= BCD=90, EDF=90,进而得出答案;(2)直接利用正方形的性质得出 的度数是 90,进而得出 DG=DF,则 BE=DG.证明:(1)正方形 ABCD 内接于 O, BED= BAD=90, BFD= BCD=90,
11、11又 DF BE, EDF+ BED=180, EDF=90,四边形 EBFD 是矩形 .(2)正方形 ABCD 内接于 O, 的度数是 90, AFD=45,又 GDF=90, DGF= DFG=45, DG=DF,又在矩形 EBFD 中, BE=DF, BE=DG.7.解析 (1)连接 OB,由圆的半径相等和已知条件证明 OBD=90,即可证明 BD 是 O 的切线;(2)过点 D 作 DG BE 于 G,根据等腰三角形的性质得到 EG= BE=5,由两角相等的三角形相似,得 ACE DGE,利用相似12三角形对应角相等得到 sin EDG=sinA= ,在 Rt EDG 中,利用勾股定
12、理求出 DG 的长,根据三角形相似得到比例式,代513入数据即可得到结果 .解:(1) BD 与 O 相切 .理由如下:连接 OB, OB=OA,DE=DB, A= OBA, DEB= ABD,又 CD OA, A+ AEC= A+ DEB=90, OBA+ ABD=90, OB BD, BD 是 O 的切线 .(2)如图,过点 D 作 DG BE 于 G, DE=DB, EG= BE=5,12 ACE= DGE=90, AEC= GED,12 ACE DGE, GDE= A,tan A= ,sin A= ,512 513sin EDG=sinA= = ,513 DE=13,在 Rt EDG
13、中, DG= =12,2-2 CD=15,DE=13, CE=2, ACE DGE, = , AC= DG= , 245 O 的直径 =2OA=4AC= .9658.证明:(1) OM=OE, OME= OEM. ME 平分 DMN, OME= DME. OEM= DME. MD DE, MDE=90.在 MDE 中,13 DEM+ DME=90. DEM+ OEM=90.即 OED=90, OE DE.又 OE 为 O 的半径, DE 是 O 的切线 .(2)如图,连接 NE. MN 为 O 的直径, MEN=90. MEN= MDE=90.又由(1)可知, NME= DME. DME EMN. = , ME2=MDMN.
