1、1提分专练(八) 构造辅助圆|类型 1| 根据圆的定义构造圆1.如图 T8-1,已知 OA=OB=OC,且 AOB=k BOC,则 ACB 是 BAC 的 倍 . 图 T8-12.如图 T8-2 所示,在凸四边形 ABCD 中, AB=BC=BD, ABC=80,则 ADC 的度数为 . 图 T8-23.如图 T8-3,在四边形 ABCD 中, AB=AC=AD, BAC=25, CAD=75,则 BDC= , DBC= . 图 T8-34.2016淮安 如图 T8-4,在 Rt ABC 中, C=90,AC=6,BC=8,点 F 在边 AC 上,并且 CF=2,点 E 为边 BC 上的动点,
2、将 CEF沿直线 EF 翻折,点 C 落在点 P 处,则点 P 到边 AB 距离的最小值是 . 2图 T8-4|类型 2| 三角形的外接圆5.如图 T8-5,矩形 ABCG 与矩形 CDEF 全等, AB=1,BC=3,点 B,C,D 在同一条直线上, APE 的顶点 P 在线段 BD 上移动,使 APE 为直角的点 P 的个数是 ( )A.0 B.1C.2 D.36.已知:如图 T8-6,直尺的宽度为 2,A,B 两点在直尺的一条边上, AB=6,C,D 两点在直尺的另一条边上 .若 ACB=ADB=90,则 C,D 两点之间的距离为 . 图 T8-67.如图 T8-7,已知 Rt ABC
3、中, AC=5,BC=12, ACB=90,P 是边 AB 上的动点, Q 是边 BC 上的动点,且 CPQ=90,则线段 CQ 的取值范围是 . 图 T8-78.已知平面直角坐标系中两定点 A(-1,0),B(4,0),抛物线 y=ax2+bx-2 过点 A,B,顶点为 C,点 P(m,n)为抛物线上一点,其中 n0.(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标;(2)当 APB 为钝角时,求 m 的取值范围 .3|类型 3| 四点共圆(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆;(2)动点对定线段所张的角为定值 .9.在平面直角坐标系中,点 A(0,2),点 B(0,8),在 x 轴正
4、半轴上有一点 C,当 ACB 取得最大值时,则点 C 的坐标是 . 10.在平面直角坐标系中,已知点 A(4,0),B(-6,0),点 C 是 y 轴上的一个动点,当 BCA=45时,点 C 的坐标为 . 11.2016宿迁 已知 ABC 是等腰直角三角形, AC=BC=2,D 是边 AB 上一动点( A,B 两点除外),将 CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 得到 CEF,其中点 E 是点 A 的对应点,点 F 是点 D 的对应点 .(1)如图 T8-8,当 = 90时, G 是边 AB 上一点,且 BG=AD,连接 GF.求证: GF AC.(2)如图,当 90 180时, AE 与 D
5、F 相交于点 M.当点 M 与点 C,D 不重合时,连接 CM,求 CMD 的度数;4设 D 为边 AB 的中点,当 从 90变化到 180时,求点 M 运动的路径长 .图 T8-812.2015淮安 阅读理解:如图 T8-9,如果四边形 ABCD 满足 AB=AD,CB=CD, B= D=90,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形” .将一张如图所示的“完美筝形”纸片 ABCD 先折叠成如图所示形状,再展开得到图 ,其中 CE,CF 为折痕, BCE= ECF= FCD,点 B为点 B 的对应点,点 D为点 D 的对应点,连接 EB,FD相交于点 O.图 T8-9简单应用:(1)在平行四边形
6、、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ; (2)当图 中的 BCD=120时, AEB= ; (3)当图中的四边形 AECF 为菱形时,对应图 中的“完美筝形”有 个(包含四边形 ABCD). 拓展提升:5当图 中的 BCD=90时,连接 AB,请探求 ABE 的度数,并说明理由 .参考答案1.k 2.140 3.12.5 37.54.1.2 5.C 6.2 7. CQ1252038.解:(1) A(-1,0),B(4,0)在抛物线 y=ax2+bx-2 上,则 4+ ,得 20a-10=0,a= ,-2=0 ,16+4-2=0 , 12把 a= 代入 ,得 b=- ,抛物线
7、的解析式为 y= x2- x-2.则 C .12 32 12 32 (32,-258)(2) A(-1,0),B(4,0),抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为(0, -2),如图,抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M ,(32,0) AD2=12+22=5,AB2=(4+1)2=25,BD2=42+22=16+4=20,则 AD2+BD2=AB2,由勾股定理的逆定理,知 ABD 是直角三角形, ADB=90,以 M 为圆心,以 MA 为半径作圆,则 M 经过点 D,则 M 内抛物线上的所有的点都可以是 P 点,且使 APB 为钝角,6根据抛物线及圆的对称性, M 与抛物线的另一个交点坐标为(
8、3, -2),则满足条件的 m 的取值范围为: -1m0 或 3m4.9.(4,0)10.(0,12)或(0, -12) 解析 如图 ,以 AB 为斜边作等腰直角三角形 APB,点 E 为 AB 的中点,以点 P 为圆心, PA 长为半径画圆,得到 P, P 与 y 轴交于点 C,连接 PE,PC. APB 是等腰直角三角形,点 A(4,0),点 B(-6,0), AB=10,点 E(-1,0),AE=BE=5, EP= AB=5(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),12PE AB(三线合一), PA=PB=5 .2过点 P 作 PF y 轴于点 F,则 OF=PE=5,PF=OE=1.
9、PF y 轴, PC=PA=5 ,2PF=1, FC=7, OC=OF+FC=12,点 C 的坐标为(0,12) .同理可作图如图 ,求出点 C 的坐标为(0, -12),综上所述,点 C(0,12)或(0, -12).711.解:(1)证明: CA=CB, ACB=90, A= ABC=45, CEF 是由 CAD 逆时针旋转角 得到, = 90, CB 与 CE 重合, CBF= A=45, ABF= ABC+ CBF=90, BG=AD=BF, BGF= BFG=45, A= BGF=45, GF AC.(2) 如图 , CA=CE,CD=CF, CAE= CEA, CDF= CFD,
10、ACD= ECF, ACE= DCF,2 CAE+ ACE=180,2 CDF+ DCF=180, CAE= CDF, A,D,M,C 四点共圆, CMD=180- CAD=135. 如图 ,O 是 AC 中点,连接 OD,CM. AD=DB,CA=CB, CD AB, ADC=90,8由 可知 A,D,M,C 四点共圆,当 从 90变化到 180时,点 M 在以 AC 为直径的 O 上,运动路径是弧 CD, OA=OC,CD=DA, DO AC, DOC=90, 的长 = = . 9011802当 从 90变化到 180时,点 M 运动的路径长为 .212.解:简单应用:(1)因为平行四边形
11、和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形 .(2)在图 中,因为 BCD=120, BCE= ECF= FCD,所以 BCE= ECF= FCD=40.又因为 B=90,所以 BEC=50,所以 BEC=50,所以 AEB=180-50-50=80.(3)当图 中的四边形 AECF 为菱形时,对应图 中的“完美筝形”有 5 个 .理由如下:根据题意得: BE=BE,BC=BC, B= CBE=90,CD=CD,FD=FD, D= CDF=90,四边形 EBCB、四边形 FDCD是“完美筝形”;四边形 ABCD 是“完美筝形”, AB=AD,CB=CD, B
12、= D=90,9 CD=CB, CDO= CBO=90, ODE= OBF=90,四边形 AECF 为菱形, AE=AF,CE=CF,AE CF,AF CE, DE=BF, AEB= CBE=90, AFD= CDF=90,在 OED和 OFB中, =,=,=, OED OFB(AAS), OD=OB,OE=OF,四边形 CDOB、四边形 AEOF 是“完美筝形”,包含四边形 ABCD,对应图 中的“完美筝形”有 5 个;故答案为 5.拓展提升: ABE=45.理由如下: BCD=90,四边形 ABCD 是正方形, BAD=90, EBF=90, BAD+ EBF=180, A,E,B,F 四点共圆 .易证 AE=AF, = , ABE= ABF= EBF=45.12
