1、1提分专练(六) 与四边形有关的计算与证明|类型 1| 平行四边形背景问题1.2018曲靖 如图 T6-1,在平行四边形 ABCD的边 AB,CD上截取 AF,CE,使得 AF=CE,连接 EF,点 M,N是线段 EF上的两点,且 EM=FN,连接 AN,CM.(1)求证: AFN CEM.(2)若 CMF=107, CEM=72,求 NAF的度数 .图 T6-12.2018贵阳 如图 T6-2,在平行四边形 ABCD中, AE是 BC边上的高,点 F是 DE的中点, AB与 AG关于 AE对称, AE与AF关于 AG对称 .(1)求证: AEF是等边三角形;(2)若 AB=2,求 AFD的面
2、积 .2图 T6-2|类型 2| 特殊四边形背景问题3.2018德阳 如图 T6-3,点 E,F分别是矩形 ABCD的边 AD,AB上一点,若 AE=DC=2ED,且 EF EC.(1)求证:点 F为 AB的中点;(2)EF与 CB的延长线相交于点 H,连接 AH,若 ED=2,求 AH的值 .图 T6-34.2018呼和浩特 如图 T6-4,已知 A,F,C,D四点在同一条直线上, AF=CD,AB DE,且 AB=DE.3(1)求证: ABC DEF;(2)若 EF=3,DE=4, DEF=90,请直接写出使四边形 EFBC为菱形时 AF的长度 .图 T6-45.2018遵义 如图 T6-
3、5,正方形 ABCD的对角线交于点 O,点 E,F分别在 AB,BC上( AEBE),且 EOF=90,OE,DA的延长线交于点 M,OF,AB的延长线交于点 N,连接 MN.(1)求证: OM=ON;(2)若正方形 ABCD的边长为 4,E为 OM的中点,求 MN的长 .图 T6-546.2018江西 在菱形 ABCD中, ABC=60,点 P是射线 BD上一动点,以 AP为边向右侧作等边三角形 APE,点 E的位置随着点 P的位置变化而变化 .5(1)如图 T6-6,当点 E在菱形 ABCD内部或边上时,连接 CE,BP与 CE的数量关系是 ,CE与 AD的位置关系是 . (2)当点 E在
4、菱形 ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由(选择图,图中的一种情况予以证明或说明理由) .(3)如图,当点 P在线段 BD的延长线上时,连接 BE,若 AB=2 ,BE=2 ,求四边形 ADPE的面积 .3 19图 T6-66参考答案1.解:(1)证明:由于四边形 ABCD是平行四边形,所以 AB CD,所以 CEM= AFN,又 AF=CE,EM=FN,所以 AFN CEM.(2)因为 CMF=107, CEM=72,且 CMF= CEM+ ECM,所以 ECM= CMF- CEM=107-72=35.因为 AFNCEM,所以 NAF= ECM=
5、35.因此 NAF的度数是 35.2.解:(1)证明:在平行四边形 ABCD中, AE是 BC边上的高, DAE= AEB=90.点 F是 DE的中点,在 Rt AED中, FE=AF. AE与 AF关于 AG对称, AE=AF. AE=AF=EF. AEF是等边三角形 .(2) AEF是等边三角形, EAF= AEF=60, EAG= EDA=30. AB与 AG关于 AE对称, BAE= EAG=30.在 Rt ABE中, AB=2, BE= AB=1, AE= = . DE=2 , AD=3.S AFD= S ADE= AEAD= 3=12 22-12 3 3 12 12 12 12 1
6、2 3.34 33.解:(1)证明: EF EC, CEF=90, AEF+ DEC=90.四边形 ABCD是矩形, BAD= D=90, AEF+ AFE=90, AFE= DEC. AE=DC, AEF DCE, ED=AF. AE=DC=AB=2DE, AB=2AF,点 F是 AB的中点 .7(2)由(1)得 AF=FB,且 AE BH, FAE= FBH=90, AEF= BHF, AEF BHF, AE=HB. ED=2,且 AE=2ED, AE=4, HB=AB=AE=4, AH2=AB2+BH2=16+16=32, AH=4 .24.解:(1)证明: AB DE, A= D. A
7、F=CD, AC=DF.又 AB=DE, ABC DEF.(2)由勾股定理得 DF= = =5,EF2+DE2 32+42作 EP DF于 P,则 EP= = .DEEFDF125四边形 BCEF是菱形, EF=CE,由勾股定理得 FP= = = ,则 CP=FP= ,EF2-EP2 32-(125) 295 95AF=DC=DF-CF=5-2 = .95755.解:(1)证明:正方形 ABCD中, AC=BD,OA= AC,OB= BD,所以 OA=OB.因为 AC BD,所以 AOB= AOD=90,所以12 12 OAD= OBA=45,所以 OAM= OBN,又因为 EOF=90,所以
8、 AOM= BON,所以 AOM BON,所以 OM=ON.(2)过点 O作 OP AB于 P,所以 OPA=90,所以 OPA= MAE,因为 E为 OM的中点,所以 OE=ME,又因为 AEM= PEO,所以 AEM PEO,所以 AE=EP.因为 OA=OB,OP AB,所以 AP=BP= AB=2,所以 EP=1.Rt OPB中, OBP=45,所以12OP=PB=2,Rt OEP中, OE= = ,所以 OM=2OE=2 ,Rt OMN中, OM=ON,所以 MN= OM=2 .OP2+PE2 5 5 2 1086.解析 (1)结论: BP=CE,CE AD.连接 AC,证明 BAP
9、 CAE即可解决问题;(2)结论仍然成立 .证明方法与(1)类似;(3)利用(2)的结论,然后通过解直角三角形求出 AP,DP,OA即可解决问题 .解:(1) BP=CE CE AD连接 AC交 BD于 O点,如图, BA=BC, ABC=60, ABC是等边三角形, AC=AB, BAC=60= PAE, BAP= CAE.在 BAP和 CAE中,AB=AC, BAP= CAE,AP=AE, BAP CAE(SAS), BP=CE. BAP CAE,9 ACE= ABP= ABC=30,12 ACD=60, ECD=30, CE为 ACD的角平分线, CA=CD,由三线合一知 CE AD.(
10、2)仍然成立,选择图,理由如下:如图,连接 AC交 BD于 O点,设 CE交 AD于点 H,在菱形 ABCD中, ABC=60,BA=BC, ABC为等边三角形, BA=CA. APE为等边三角形, AP=AE, PAE= BAC=60, BAP= CAE.在 BAP和 CAE中, BAP CAE(SAS),AB=AC, BAP= CAE,AP=AE, BP=CE, ACE= ABP=30.又 CAD=60, AHC=90,即 CE AD.选择图,理由如下:如图,连接 AC交 BD于点 O,设 CE交 AD于点 H.10同理得 BAP CAE, BP=CE, ACE= ABP=30,又 CAD
11、=60, AHC=90,即 CE AD.(3)如图,连接 AC交 BD于点 O,连接 CE交 AD于点 H.由(2)可知, CE AD,CE=BP,在菱形 ABCD中, AD BC, EC BC. BC=AB=2 ,BE=2 ,3 19在 Rt BCE中, CE= =8,(2 19)2-(2 3)2 BP=CE=8. AC与 BD是菱形的对角线, ABD= ABC=30,AC BD,12 BD=2BO=2ABcos30=6,AO= AB= ,DP=BP-BD=8-6=2,12 3 OP=OD+DP=5.11在 Rt AOP中, AP= =2 ,AO2+OP2 7S 四边形 ADPE=S ADP+S APE= DPAO+ AP2= 2 + (2 )2=8 .12 34 12 3 34 7 3
