1、1提分专练(七) 以圆为背景的综合计算与证明题|类型 1| 圆与切线有关的问题1.2018咸宁 如图 T7-1,以 ABC 的边 AC 为直径的 O 恰为 ABC 的外接圆, ABC 的平分线交 O 于点 D,过点 D作 DE AC 交 BC 的延长线于点 E.(1)求证: DE 是 O 的切线;(2)若 AB=2 ,BC= ,求 DE 的长 .5 5图 T7-12.2018徐州 如图 T7-2,AB 为 O 的直径,点 C 在 O 外, ABC 的平分线与 O 交于点 D, C=90.(1)CD 与 O 有怎样的位置关系?请说明理由 .(2)若 CDB=60,AB=6,求 的长 .AD2图
2、T7-2|类型 2| 圆与四边形结合的问题3.2017宜昌 如图 T7-3,四边形 ABCD 中, E 是对角线 AC 上一点, ED=EC,以 AE 为直径的 O 与边 CD 相切于点 D,B 点在 O 上,连接 OB.(1)求证: DE=OE;(2)若 AB CD,求证:四边形 ABCD 是菱形 .图 T7-334.2018镇江 如图 T7-4,平行四边形 ABCD 中, AB AC,AB=6,AD=10,点 P 在边 AD 上运动,以 P 为圆心, PA 为半径的 P 与对角线 AC 交于 A,E 两点 .(1)如图,当 P 与边 CD 相切于点 F 时,求 AP 的长;(2)不难发现,
3、当 P 与边 CD 相切时, P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点,随着 AP 的变化, P 与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数也在变化,若公共点的个数为 4,直接写出相对应的 AP 的长的取值范围 . 图 T7-4|类型 3| 圆与三角函数结合的问题5.2018贵港 如图 T7-5,已知 O 是 ABC 的外接圆,且 AB=BC=CD,AB CD,连接 BD.(1)求证: BD 是 O 的切线;(2)若 AB=10,cos BAC= ,求 BD 的长及 O 的半径 .35图 T7-546.2018铜仁 如图 T7-6,在三角形 ABC 中, AB=6,AC=BC=5,以 BC
4、为直径作 O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,直线 DF 是 O 的切线, D 为切点,交 CB 的延长线于点 E.(1)求证: DF AC;(2)求 tanE 的值 .图 T7-6|类型 4| 圆与相似三角形结合的问题57.2018通辽 如图 T7-7, O 是 ABC 的外接圆,点 O 在 BC 边上, BAC 的平分线交 O 于点 D,连接 BD,CD,过点 D作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P.(1)求证: PD 是 O 的切线;(2)求证: ABD DCP;(3)当 AB=5 cm,AC=12 cm 时,求线段 PC 的长 .图 T7-78.2017苏州 如图
5、T7-8,已知 ABC 内接于 O,AB 是直径,点 D 在 O 上, OD BC,过点 D 作 DE AB,垂足为 E,连接CD 交 OE 于点 F.(1)求证: DOE ABC;(2)求证: ODF= BDE;(3)连接 OC,设 DOE 的面积为 S1,四边形 BCOD 的面积为 S2,若 = ,求 sinA 的值 .S1S227图 T7-867参考答案1.解:(1)证明:连接 OD, AC 是 O 的直径, ABC=90, BD 平分 ABC, ABD=45, AOD=90. DE AC, ODE= AOD=90, DE 是 O 的切线 .(2)在 Rt ABC 中, AB=2 ,BC
6、= ,5 5 AC= =5,AB2+BC2 OD= .52过点 C 作 CG DE,垂足为 G,则四边形 ODGC 为正方形, DG=CG=OD= .52 DE AC, CEG= ACB,又 ABC= CGE=90,8 ABC CGE, = ,即 = ,解得 GE= ,CGGEABBC 52GE255 54 DE=DG+GE= .1542.解:(1) CD 是 O 的切线,理由如下:连接 OD,则 OD=OB,2 =3 . BD 平分 ABC,2 =1,1 =3, OD BC. C=90, BC CD, OD CD, CD 是 O 的切线 .(2) CDB=60, C=90,2 =1 =3 =
7、30, AOD=2 +3 =30+30=60. AB=6, OA=3, 的长 = 3= .AD 601803.证明:(1)如图,连接 OD, CD 是 O 的切线, OD CD,2 +3 =1 + COD=90,9又 DE=EC,2 =1,3 = COD, DE=OE.(2) OD=OE,DE=OE, OD=DE=OE,3 = COD= DEO=60,2 =1 =30. OA=OB=OE,且 OE=DE=EC, OA=OB=DE=EC,又 AB CD,4 =1,2 =1 =4 = OBA=30, ABO CDE, AB=CD.又 AB CD,四边形 ABCD 是平行四边形 . DAE= DOE
8、=30,1 = DAE,12 CD=AD,四边形 ABCD 是菱形 .4.解:(1)如图,连接 PF.在 Rt ABC 中,由勾股定理得 AC= = =8.设 AP=x,则 DP=10-x,PF=x. P 与边 CD 相切于点BC2-AB2 102-62F, PF CD.四边形 ABCD 是平行四边形, AB CD.又 AB AC, AC CD, PF AC, DPF DAC. = ,即 = .PFACPDAD x810-x1010解得 x= ,即 AP= .409 409(2) AP 或 AP=5409 2455.解:(1)证明:连接 BO 并延长交 AC 于 H,如图,由于 O 是 ABC
9、 的外接圆, AB=BC,则 BH AC 且 AH=CH. AB=CD,AB CD,四边形 ABDC 是平行四边形, AC BD, BH BD,即 OB BD, BD 是 O 的切线 .(2)由(1)知, BD=AC,而 AC=2AH=2ABcos BAC=210 =12, BD=12.35设 O 的半径为 r,且 OH=x,则有 r+x=BH,AH2+x2=r2,又 BH= = =8, r+x=8,又由 AH2+x2=r2得( r+x)AB2-AH2 102-62(r-x)=AH2=36, r-x= ,联立,解得 r= , O 的半径为 .92 254 2546.解:(1)证明:如图,连接
10、OD, DF 是 O 的切线, OD EF, ODE=90. AC=BC, ABC= A. OD=OB, OBD= ODB, A= ODB, OD AC, CFE= ODE=90, DF AC.(2)如图,连接 BG, BC 是直径, BGC=90.在 Rt ACD 中, DC= = =4.AC2-AD2 52-32 ABCD=2S ABC=ACBG,11 BG= = = , CG= = = . BG AC,EF AC, BG EF, E= CBG,tan E=tan CBGABCDAC645 245 BC2-BG2 52-(245) 275= = .CGBG7247.解:(1)证明:连接 O
11、D. BC 是 O 的直径, BAC=90, AD 平分 BAC, BAC=2 BAD.又 BOD=2 BAD, BOD= BAC=90. DP BC, ODP= BOD=90,即 PD OD,又 OD 是 O 的半径, PD 是 O 的切线 .(2)证明: DP BC, ACB= P,又 ACB= ADB, ADB= P. ABD+ ACD=180, ACD+ DCP=180, DCP= ABD, ABD DCP.(3) BC 是 O 的直径, BDC= BAC=90.在 Rt ABC 中, BC= = =13(cm).AB2+AC2 52+122 AD 平分 BAC, BAD= CAD,
12、BCD= CBD, BD=CD.在 Rt BCD 中, BD2+CD2=BC2, BD=CD= BC= 13= (cm).22 22 1322 ABD DCP, = ,即 = ,ABCDBDCP 51322 1322CP PC=16.9(cm).8.解:(1)证明: AB 是 O 的直径, ACB=90. DE AB, DEO=90. DEO= ACB. OD BC, DOE= ABC, DOE ABC.(2)证明: DOE ABC, ODE= A. A 和 BDC 是 所对的圆周角,BC12 A= BDC, ODE= BDC, ODE- CDE= BDC- CDE,即 ODF= BDE.(3) DOE ABC, = 2= ,S DOES ABCODAB 14即 S ABC=4S DOE=4S1. OA=OB, S BOC= S ABC,12即 S BOC=2S1. = ,S2=S BOC+S DOE+S DBE=2S1+S1+S DBE,S1S227 S DBE= S1, BE= OE,12 12即 OE= OB= OD,23 23sin A=sin ODE= = .OEOD23
