1、1提分专练(四) 二次函数小综合|类型 1| 二次函数与其他函数的综合1.如图 T4-1,在平面直角坐标系内,二次函数 y=ax2+bx(a0),一次函数 y=ax+b(a0)以及反比例函数 y= (k0)的图kx象都经过点 A,其中一次函数的图象与反比例函数的图象还交于另一点 B,且一次函数的图象与 x 轴, y 轴分别交于点C,D.若点 A 的横坐标为 1,该二次函数图象的对称轴是直线 x=2,有下列结论: b=-4a; a+bk;8 a+4bk; a+2b4k.其中正确结论的个数是 ( )图 T4-1A.1 B.2 C.3 D.42.如图 T4-2,曲线 BC 是反比例函数 y= (4
2、x6)图象的一部分,其中 B(4,1-m),C(6,-m),抛物线 y=-x2+2bx 的顶点记kx作 A.(1)求 k 的值 .(2)判断点 A 是否可与点 B 重合 .(3)若抛物线与曲线 BC 有交点,求 b 的取值范围 .图 T4-22|类型 2| 二次函数与几何图形综合3.2018岳阳 已知抛物线 F:y=x2+bx+c 经过坐标原点 O,且与 x 轴另一交点为 - ,0 .33(1)求抛物线 F 的表达式 .(2)如图 T4-3,直线 l:y= x+m(m0)与抛物线 F 相交于点 A(x1,y1)和点 B(x2,y2)(点 A 在第二象限),求 y2-y1的值(用33含 m 的式
3、子表示) .(3)在(2)中,若 m= ,设点 A是点 A 关于原点 O 的对称点,如图 T4-3 .43判断 AAB 的形状,并说明理由 .平面内是否存在点 P,使得以点 A,B,A,P 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 .图 T4-334.2018益阳 如图 T4-4,已知抛物线 y= x2- x-n(n0)与 x 轴交于 A,B 两点( A 点在 B 点的左边),与 y 轴交于点 C.12 32(1)如图,若 ABC 为直角三角形,求 n 的值;(2)如图,在(1)的条件下,点 P 在抛物线上,点 Q 在抛物线的对称轴上,若以 BC 为边,以点 B,
4、C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的坐标;(3)如图,过点 A 作直线 BC 的平行线交抛物线于另一点 D,交 y 轴于点 E,若 AEED= 1 4,求 n 的值 .图 T4-445.2018张家界 如图 T4-5,已知二次函数 y=ax2+1(a0, a 为实数)的图象过点 A(-2,2),一次函数y=kx+b(k0, k,b 为实数)的图象 l 经过点 B(0,2).(1)求 a 的值并写出二次函数的表达式;(2)求 b 的值;5(3)设直线 l 与二次函数的图象交于 M,N 两点,过点 M 作 MC 垂直 x 轴于点 C,试证明: MB=MC;(4)在(3)的条件下,请
5、判断以线段 MN 为直径的圆与 x 轴的位置关系,并说明理由 .图 T4-56参考答案1.B 解析 对称轴为直线 x=- =2,b2a b=-4a,故结论正确;一次函数与反比例函数的图象都经过点 A, x=1 时, a+b=k,故结论错误;由图象可知,4 a+2b ,8 a+4bk,故结论正确;k2a+2b=- +2b= b,4k=4(a+b)=4 - +b =3b,二次函数图象开口向下, a0, b0),可得12 32OC=n,OAOB=2n, n2=2n,解得 n1=2,n2=0(舍去), n=2.(2)由(1)可知抛物线的表达式为 y= x2- x-2,抛物线的对称轴为直线 x= .12
6、 32 32令 y=0,得 x1=-1,x2=4, A(-1,0),B(4,0).9设点 P m, m2- m-2 ,12 32当直线 PQ BC,点 P 在点 Q 的左侧(如图所示), BOC 平移到 QNP 的位置时,四边形 PQBC 为平行四边形,此时 NQ=OB,即 -m=4,则 m=- ,32 52则 m2- m-2= ,12 32 398此时点 P 的坐标为 - , ;52398当点 P 在点 Q 的右侧时(如图所示),同理可得 m- =4,即 m= ,32 112则 m2- m-2= ,12 32 398此时点 P 的坐标为 , .112398综上所述,满足条件的点 P 的坐标为
7、 - , , , .52398 112398(3)过点 D 作 DF x 轴,垂足为 F.如图,则 AOOF=AEED= 1 4.10设 A(a,0),B(b,0),则 AO=-a,OF=-4a. AD BC, OBC= DAO. BOC= AFD=90, BOC AFD, = ,OCDFBOAF即 = ,nDF b-4a-a = .nDFb-5a由题意得 ab=-2n, =- ,nb a2 DF=-5a =-5a - = a2.nb a2 52点 A,D 在抛物线上, 12a2-32a-n=0,1216a2-32(-4a)-n=52a2,解得 a= -32,n=278, n 的值为 .278
8、5.解析 (1)将点 A 的坐标代入二次函数的表达式,即可求出 a 的值,进而得到二次函数的表达式 .(2)将点 B 的坐标代入一次函数的表达式,即可求出 b 的值 .(3)过点 M 作 ME y 轴于点 E,设 M x, x2+1 ,进而用含 x 的式子分别表示 MB 和 MC.14(4)过点 N 作 ND x 轴于点 D,取 MN 的中点为 P,过点 P 作 PF x 轴于点 F,过点 N 作 NH MC 于点 H,交 PF 于点 G.根据(3)知11NB=ND,通过等量代换,得出 PF= MN.12解:(1)根据题意,得 2=a(-2)2+1,解得 a= , y= x2+1.14 14(
9、2)根据题意,得 2=k0+b,解得 b=2.(3)证明:如图,过点 M 作 ME y 轴于点 E.设 M x, x2+1 ,则 MC= x2+1,14 14 ME=|x|,EB= = .|14x2+1-2|14x2-1| MB= = =ME2+EB2 x2+(14x2-1) 2 x2+116x4-12x2+1= = x2+1,116x4+12x2+114 MB=MC.(4)相切 .理由如下:如图,过点 N 作 ND x 轴于 D,取 MN 的中点为 P,过点 P 作 PF x 轴于点 F,过点 N 作 NH MC 于点 H,交 PF 于点 G.由(3)知 NB=ND, MN=NB+MB=ND+MC. PG= MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,122 PF=2PG+2GF=MH+ND+HC12=ND+MC, PF= MN,12以线段 MN 为直径的圆与 x 轴相切 .
