1、1第 24 讲 直角三角形与锐角三角函数1. (2012，河北)如图， AB， CD 相交于点 O， AC CD 于点 C.若 BOD38，则 A52.第 1 题图【解析】 BOD38， AOC38. AC CD 于点 C， A90 AOC903852.2. (2014，河北)如图，将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为2 的正方形，则 n 不等于(A)第 2 题图A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】 如答图将长为 2、宽为 1 的矩形纸片分割成 n 个三角形后，拼成面积为 2 的正方形，则 n 可以为 3，4，5，故 n2.第 2 题答图3. (2018
2、，邯郸一模)如图，在 Rt ABC 中， ACB90， AC6， BC8，则 Rt ABC的中线 CD 的长为(A)第 3 题图A. 5 B. 6 C. 8 D. 10【解析】 在 Rt ABC 中， ACB90， AC6， BC8， AB 10. CDAC2 BC2是 Rt ABC 的中线， CD AB5.124. (2018，唐山路南区三模)如图，在正方形 ABCD 中， AE BE，且 AE3， BE4，则阴影部分的面积是(C)第 4 题图A. 16 B. 18 C. 19 D. 212【解析】 AE BE，且 AE3， BE4，在 Rt ABE 中， AB2 AE2 BE225. S
3、阴影 S 正方形 ABCD S ABE AB2 AEBE25 3419.12 12.直角三角形中的边角关系例 1 (2018，扬州高邮模拟)具备下列条件的 ABC 中，不是直角三角形的是(D)A. A B C B. A B CC. A B C123 D. A B3 C【解析】 选项 A 中 A B C，即 2 C180， C90. ABC 是直角三角形同理可证，B，C 两选项中的 ABC 均是直角三角形选项 D 中 A B3 C，即7 C180，三个角没有 90角，故此选项中的 ABC 不是直角三角形.针对训练 1 (导学号 5892921)如图，在 ABC 中， AD BC，垂足为 D， B
4、E AC，垂足为E， M 为 AB 边的中点，连接 ME， MD， ED.设 AB4， DBE30，则 DEM 的面积为 .3训练 1 题图【解析】 在 ABC 中， AD BC， BE AC， ABE， ADB 是直角三角形 EM， DM分别是它们斜边上的中线 EM DM AB. ME AB MA， MAE MEA.12 12 BME2 MAE.同理MD AB MA. MAD MDA. BMD2 MAD. EMD BME BMD2 MAE2 MAD122 DAC2 DBE60.所以 DEM 是边长为 2 的正三角形，所以 S DEM .3针对训练 2 (2018，宜城模拟)在 ABC 中，
5、AB10， AC2 ， BC 边上的高 AD6，则10BC 的长为 10 或 6.【解析】 本题分两种情况(1)如答图， AB10， AC2 ， AD6.在 Rt ABD 和10Rt ACD 中，根据勾股定理，得 BD 8， CD 2，此时AB2 AD2 AC2 AD2BC BD CD8210.(2)如答图， AB10， AC2 ， AD6.在 Rt ABD 和 Rt ACD 中，10根据勾股定理，得 BD 8， CD 2，此时 BC BD CD826.综AB2 AD2 AC2 AD2上所述， BC 的长为 10 或 6.训练 2 答图锐角三角函数的定义例 2 (2018，哈尔滨道里区模拟)如
6、图，在 Rt ABC 中， C90， B35，3AB3，则 BC 的长为(C)例 2 题图A. 3sin 35 B. C. 3cos 35 D. 3tan 353cos 35【解析】 cos 35 ， BC3cos 35.CBAB CB3针对训练 3 (2018，唐山古冶区二模)如图，在由边长为 1 的小正方形构成的网格中， O 的半径为 1，圆心 O 在格点上，则 tan AED 等于(C)训练 3 题图A. 1 B. C. D. 22 12 32【解析】 AC1， AB2，tan ABC .由圆周角定理，得 AED ABC.ACAB 12tan AED .12针对训练 4 如图，在 22
7、正方形网格中，以格点为顶点的 ABC 的面积等于 ，则32sin CAB 等于(B)训练 4 题图A. B. C. D. 332 35 105 310【解析】 如答图，作 CD AB 于点 D.由题意，得 AB AC ， BC .由三角形的面积，5 2得 ABCD . CD .sin CAB .12 32 355 CDAC 3555 35训练 4 答图特殊角的三角函数值例 3 (2018，嘉兴一模 )把一把直尺与一块三角板如图所示放置若 sin1 ，则2224的度数为(B)例 3 题图A. 120 B. 135 C. 145 D. 150【解析】 如答图sin1 ，145.在 Rt EFG 中
8、，390221904545，41803135. AB CD，24135.例 3 答图针对训练 5 在 ABC 中， A， B 都是锐角，tan A 1，sin B ，你认为 ABC 最22确切的判断是(B)A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形【解析】 由题意，得 A45， B45. C180 A B90.针对训练 6 如图，点 O 在 ABC 内，且到三边的距离相等若 BOC120，则 tan A的值为(A)训练 6 题图A. B. C. D. 333 32 22【解析】 点 O 到 ABC 三边的距离相等， BO 平分 ABC， CO 平分 ACB. A
9、180( ABC ACB)1802( OBC OCB)1802(180 BOC)1802(180120)60.tan Atan 60 .3一、 选择题1. (2018，天津)cos 30的值为(B)A. B. C. 1 D. 22 32 3【解析】 根据特殊角的三角函数值直接解答即可2. (2018，深圳龙岗区模拟)如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 4 倍，那么其中的一个锐角的度数是(B)A. 9 B. 18 C. 27 D. 36【解析】 设较小的锐角是 x，则另一个锐角是 4x.则 x4 x90.解得x18.4 x72.所以两个锐角分别是 18和 72.3. (2018，孝感)如图，
10、在 Rt ABC 中， C90， AB10， AC8，则 sin A 的值为5(A)第 3 题图A. B. C. D. 35 45 34 43【解析】 在 Rt ABC 中， AB10， AC8， BC 6.sin AB2 AC2 102 82A .BCAB 610 354. (2018，贵阳)如图， A， B， C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则tan BAC 的值为(B)第 4 题图A. B. 1 C. D. 12 33 3【解析】 如答图，连接 BC.由网格，得 AB BC ， AC ，即 AB2 BC2 AC2.5 10 ABC 为等腰直角三角形 BAC45.tan
11、BAC1. 第 4 题答图5. (2018，淄博，导学号 5892921)如图，在 Rt ABC 中， CM 平分 ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分 AMC.若 AN1，则 BC 的长为(B)第 5 题图A. 4 B. 6 C. 4 D. 83【解析】 在 Rt ABC 中， CM 平分 ACB， MN BC，且 MN 平分 AMC， B AMN NMC， NCM BCM NMC. ACB2 B， NM NC. B30. AN1， MN2. AC AN NC3. BC6.6. (2018，扬州)如图，在 Rt ABC 中， ACB90，
12、CD AB 于点 D， CE 平分 ACD 交AB 于点 E，则下列结论一定成立的是(C)6第 6 题图A. BC EC B. EC BE C. BC BE D. AE EC【解析】 ACB90， CD AB， ACD BCD90， ACD A90. BCD A. CE 平分 ACD， ACE DCE. BEC A ACE， BCE BCD DCE， BEC BCE. BC BE.7. (2018，贺州)如图，在 ABC 中， BAC90， AD BC，垂足为 D， E 是边 BC 的中点， AD ED3，则 BC 的长为(D)第 7 题图A. 3 B. 3 C. 6 D. 62 3 2【解析
13、】 AD ED3， AD BC， ADE 为等腰直角三角形根据勾股定理，得 AE3 . 在 Rt ABC 中， E 为 BC 的中点， AE BC. BC2 AE6 .32 32 212 28. (2018，大同模拟，导学号 5892921)一直角三角形的两边长分别为 6 和 8，则该三角形中较小锐角的正弦值为(C)A. B. C. 或 D. 或35 74 74 35 25 54【解析】 本题分两种情况当斜边长是 8 时，直角三角形的另一直角边长是2 . 较小锐角的正弦值为 .当两直角边长分别是 6 和 8 时，由勾股定理，得82 62 774斜边长为 10.较小锐角的正弦值为 .所以该三角形
14、中较小锐角的正弦值为 或 .35 74 35二、 填空题9. (2018，德州)如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则 BAC 的正弦值是( ).55第 9 题图【解析】 AB23 24 225， AC22 24 220， BC21 22 25， AC2 BC2 AB2. ABC 为直角三角形，且 ACB90.sin BAC .BCAB 5510. (2018，湘潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在 ABC 中， AC
15、B90， AC AB10， BC3，求 AC 的长如果7设 AC x，那么可列方程为 x23 2(10 x)2 .第 10 题图【解析】 AC AB10， AB10 x.在 Rt ABC 中， ACB90， AC2 BC2 AB2，即 x23 2(10 x)2.11. (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在 ABC 中， ACB90， A30， BC4，以点 C 为圆心， CB 长为半径作弧，交 AB 于点 D；再分别以点 B 和点 D 为圆心，大于 BD 的12长为半径作弧，两弧相交于点 E，作射线 CE 交 AB 于点 F，则 AF 的长为 6 .第 11 题图【解析】 由作图过程及痕迹，
16、得 CF AB.在 ABC 中， ACB90， A30，BC4， AB2 BC8， CBD60.在 Rt BCF 中， BCF30. BF BC2. AF AB BF826.12三、 解答题12. 如图，沿 AC 方向开山修路为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点 B 取 ABD120， BD520 m， D30，那么另一边的开挖点 E 离 D 多远时，正好使 A， C， E 三点在同一直线上？( 取 1.732，结果取整数)3第 12 题图【思路分析】 根据三角形内角与外角的关系可求出 AED 的度数，再根据勾股定理即可求出 DE 的长解： ABD120， D30， A
17、ED1203090.在 Rt BDE 中， BD520 m， D30， BE260 m. DE 260 450(m)BD2 BE2 3答：另一边的开挖点 E 离 D 约 450 m 时，正好使 A， C， E 三点在同一直线上13. (2018，北京顺义区二模)如图，在四边形 ABCD 中， BCD90， AD DB， E 为 AB的中点， BC DE.(1)求证： BD 平分 ABC；8(2)连接 EC，若 A30， DC ，求 EC 的长3第 13 题图【思路分析】 (1)直接利用直角三角形的性质得出 DE BE AB，再利用 BC DE 得出12 BDE DBC，进而得出答案(2)利用已
18、知得出在 Rt BCD 中， DBC60，又由 DC得出 DB 的长，再在 Rt CDE 中利用勾股定理求出 EC 的长3(1)证明：如答图 AD DB， E 为 AB 的中点， DE BE AB.1212. BC DE，23.13，即 BD 平分 ABC.(2)解：如答图 AD DB， A30，160.3260. BCD90，430. CDE2490.在 Rt BCD 中，360， DC ，3 DB2. DE BE，160， DE DB2. EC .DE2 DC2 4 3 7第 13 题答图14. (2018，保定二模)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小
19、聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形按图或图所示的方式摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中 DAB90，求证： a2 b2 c2.证明：连接 DB，过点 D 作 BCD 的 BC 边上的高 DF，则 DF EC b a. S 四边形 ADCB S ACD S ABC b2 ab，且 S 四边形 ADCB S ADB S DCB c2 a(b a)，12 12 12 12 b2 ab c2 a(b a)12 12 12 12 a2 b2 c2.请参照上述证法，利用图完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图所示摆放
20、，其中 DAB90.求证： a2 b2 c2.9第 14 题图【思路分析】 先连接 BD，过点 B 作 BDE 的 DE 边上的高 BF，则 BF b a，用两种不同的方式表示出 S 五边形 ACBED，两者相等，整理即可得证证明：如答图，连接 BD，过点 B 作 BDE 的 DE 边上的高 BF，则 BF b a. S 五边形 ACBED S ACB S ABE S ADE ab b2 ab，12 12 12且 S 五边形 ACBED S ACB S ABD S BDE ab c2 a(b a)，12 12 12 ab b2 ab ab c2 a(b a)12 12 12 12 12 12
21、a2 b2 c2.第 14 题答图1. (2018，温州，导学号 5892921)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成若a3， b4，则该矩形的面积为(B)第 1 题图A. 20 B. 24 C. D. 994 532【解析】 如答图设小正方形的边长为 x. a3， b4， AB347.在 Rt ABC中， AC2 BC2 AB2，即(3 x)2( x4) 27 2.整理，得 x27 x120，即 x27 x12.该矩形的面积为( x3)
22、( x4) x27 x1224.10第 1 题答图2. (2018，天津，导学号 5892921)如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中， D， E 分别为 AB， BC 的中点， EF AC 于点 F， G 为 EF 的中点，连接 DG，则 DG 的长为( ).192第 2 题图【解析】 如答图，连接 DE.在边长为 4 的等边三角形 ABC 中， D， E 分别为 AB， BC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， BD BE EC2. DE2，且 DE AC. EF AC 于点F， C60， FEC30， DEF EFC90. FC EC1. EF .12 22 12 3 G 为
23、 EF 的中点， EG . DG .32 DE2 EG2 192第 2 题答图3. (2018，贵阳)如图，在 ABCD 中， AE 是 BC 边上的高， F 是 DE 的中点， AB 与 AG 关于AE 对称， AE 与 AF 关于 AG 对称(1)求证： AEF 是等边三角形；(2)若 AB2，求 AFD 的面积第 3 题图【思路分析】 (1)先根据 AE 是 BC 边上的高及 AD BC 证 ADE 为直角三角形由 F 是DE 的中点知 AF EF，再结合 AE 与 AF 关于 AG 对称知 AE AF，即可得证(2)记 AG， EF 的交点为 H.由 AEF 是等边三角形且 AB 与
24、AG 关于 AE 对称、 AE 与 AF 关于 AG 对称知 BAE GAE30，据此由 AB2 知 AE AF DF ， AH ，从而得出答案332(1)证明： AE 是 BC 边上的高， AE BC.四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC. AE AD，即 DAE90.11 F 是 DE 的中点， AF EF DF. AE 与 AF 关于 AG 对称， AE AF. EF AE AF. AEF 是等边三角形(2)解：如答图，记 AG， EF 的交点为 H. AEF 是等边三角形，且 AE 与 AF 关于 AG 对称， EAG30， AG EF. AB 与 AG 关于 AE 对称， BAE GAE30， AEB90. AB2， BE1， DF AF AE .3 EH AE ， AH .12 32 32 S AFD DFAH .12 12 3 32 334第 3 题答图
