1、1专题六 探索型问题类型一 规律探索型问题(2018山东威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点 A1的坐标为(1，2)，以点 O 为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线 y x 于点 B1.过 B1点作 B1A2y 轴，交直线 y2x 于点 A2，以点 O 为圆心，12以 OA2长为半径画弧，交直线 y x 于点 B2；过点 B2作 B2A3y 轴，交直线 y2x 于点 A3，以点 O 为圆心，12以 OA3长为半径画弧，交直线 y x 于点 B3；过 B3点作 B3A4y 轴，交直线 y2x 于点 A4，以点 O 为圆心，12以 OA4长为半径画弧，交直线 y x 于点 B4，按照如此规律进行
2、下去，点 B2 018的坐标为_12【分析】根据题意可以求得点 B1的坐标，点 A2的坐标，点 B2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点 B2 018的坐标【自主解答】2规律探索题主要有数式规律和图形规律两种对于数式规律，猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段对于图形规律，一种是数图形，将图形规律转化成数字规律，再用数字规律解决问题；一种是通过图形的直观性，通过拆分图形，观察图形的构造寻找规律1(2018山东枣庄中考)将从 1 开
3、始的连续自然数按如下规律排列：则 2 018 在第_行2(2018江苏淮安中考)如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 yx 的图象，点 A1的坐标为(1，0)，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1，以 A1D1为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边作正方形 A2B2C2D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l 于点 D3，以 A3D3为边作正方形 A3B3C3D3，按此规律操作下所得到的正方形 AnBnCnDn的面积是_类型二 存在探索型问题(2018浙江湖州中考)如图 1，在
4、平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC，ABC90，顶点 A 在第一象限，B，C 在 x 轴的正半轴上(C 在 B 的右侧)，BC2，AB2 ，ADC 与ABC 关于 AC 所在的直线3对称(1)当 OB2 时，求点 D 的坐标；(2)若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上，求 OB 的长；(3)如图 2，将第(2)题中的四边形 ABCD 向右平移，记平移后的四边形为 A1B1C1D1，过点 D1的反比例函数3y (k0)的图象与 BA 的延长线交于点 P.问：在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 P，A 1，D 为kx顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的
5、k 的值；若不存在，请说明理由【分析】(1)作 DEx 轴于 E，解直角三角形求出 DE，CE 即可解决问题；(2)设 OBa，则点 A 的坐标(a，2 )，由题意 CE1，DE ，可得 D(3a， )，点 A，D 在同一反3 3 3比例函数图象上，可得 2 a (3a)，求出 a 即可；3 3(3)分两种情形：如图 2 中，当点 A1在线段 CD 的延长线上，且 PA1AD 时，PA 1D90.当PDA 190时分别构建方程解决问题即可【自主解答】43(2018四川攀枝花中考)如图，对称轴为直线 x1 的抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)(x 1x 2)两
6、点，与 y 轴交于 C 点，且 .1x1 1x2 23(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线顶点为 D，直线 BD 交 y 轴于 E 点；设点 P 为线段 BD 上一点(点 P 不与 B，D 两点重合)，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 F，求BDF面积的最大值；在线段 BD 上是否存在点 Q，使得BDCQCE？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由类型三 结论探索型问题如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上的点，且 CEBF.连结 DE，过点 E 作EGDE，使 EGDE.连结 FG，FC.5(1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是_，位置关
7、系是_(2)如图 2，若点 E，F 分别是 CB，BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并予以证明(3)如图 3，若点 E，F 分别是 BC，AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及性质即可判断【自主解答】4(2018四川自贡中考)如图，已知AOB60，在AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个 120角的顶点与点 C 重合，它的两条边分别与直线 OA，OB 相交于点 D，E.(1)当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时(如图 1)，请猜想
8、OEOD 与 OC 的数量关系，并说明理由；(2)当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，到达图 2 的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当DCE 绕点 C 旋转到 CD 与 OA 的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图 3 中画出图形，若成立，请给予证明；若不成立，线段 OD，OE 与 OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明6图 1 图 2 图 3参考答案类型一【例 1】 由题意可得点 A1的坐标为(1，2)设点 B1的坐标为(a， a)，12 ，a2 （ 12a） 2 12 22解得 a2(负值舍去)，点 B1的坐标为(2，1)同理可得点
9、A2的坐标为(2，4)，点 B2的坐标为(4，2)，点 A3的坐标为(4，8)，点 B3的坐标为(8，4)，点 B2 018的坐标为(2 2 018，2 2 017)故答案为(2 2 018，2 2 017)变式训练145 2.( )n1 927类型二【例 2】 (1)如图，过点 D 作 DEx 轴于 E.ABC90，tanACB ，ABBC 3ACB60.根据对称性可知 DCBC2，ACDACB60，DCE60，CDE906030，CE1，DE ，3OEOBBCCE5，点 D 坐标为(5， )3(2)设 OBa，则点 A 的坐标(a，2 )，3由题意 CE1，DE ，可得 D(3a， )3
10、3点 A，D 在同一反比例函数图象上，2 a (3a)，a3，OB3.3 3(3)存在，k 的值为 10 或 12 .理由如下：3 3如图，当点 A1在线段 CD 的延长线上，且 PA1AD 时，PA 1D90.在 RtADA 1中，DAA 130，AD2 ，3AA 1 4.ADcos 30在 RtAPA 1中，APA 160，PA ，PB .4 33 10 33设 P(m， )，则 D1(m7， )10 33 38P，D 1在同一反比例函数图象上， m (m7)，解得 m3，10 33 3P(3， )，k10 .10 33 3如图，当PDA 190时PAKKDA 190，AKPDKA 1，A
11、KPDKA 1， ，AKKD PKKA1 .PKAK KA1DKAKDPKA 1，KADKPA 1，KPA 1KAD30，ADKKA 1P30，APDADP30，APAD2 ，AA 16.3设 P(m，4 )，则 D1(m9， )3 3P，D 1在同一反比例函数图象上，4 m (m9)，解得 m3，3 3P(3，4 )，k12 .3 3变式训练3解：(1)抛物线对称轴为直线 x1， 1， b2b2.由一元二次方程根与系数的关系得 x1x 2b，x 1x2c， ，则 c3，1x1 1x2 x1 x2x1x2 bc 23抛物线表达式为 yx 22x3.9(2)由(1)得点 D 坐标为(1，4)当
12、y0 时，x 22x30，解得 x11，x 23，点 B 坐标为(3，0)设点 F 坐标为(a，b)，BDF 的面积 S (4b)(a1) (b)(3a) 24，12 12 12整理得 S2ab6.ba 22a3，S2a(a 22a3)6a 24a3.a10，当 a2 时，S 最大 4831.存在由已知点 D 坐标为(1，4)，点 B 坐标为(3，0)，直线 BD 表达式为 y2x6.则点 E 坐标为(0，6)连结 BC，CD，则由勾股定理得 CB2(30) 2(30) 218，CD21 2(43) 22，BD 2(4) 2(31) 220，CB 2CD 2BD 2，BCD90，tanBDC3
13、.当点 Q 使得BDCQCE 时，连 QC 并延长交 x 轴于点 N，过 Q 作 QMx 轴于点 M.OCNQCE，CO3，在 RtNOC 中，NO3OC9.由已知，MQOE，OE6，OB3， .BMMQ OBOE 12设 BMa，则 MQ2a，则 MN12a.MQNQCE，RtMNQ 中，3MQMN，12a32a，a ，127则 OM3 ，MQ ，127 97 24710则点 Q 坐标为( ， )97 247类型三【例 3】 (1)相等 平行四边形 ABCD 是正方形，ABCBCD90，ABBCCD.又CEBF，ECDFBC(SAS)，CFDE，DECCFB，DECBCF90，FCDE.EG
14、DE，EGDE，FCGE，GECF，四边形 GECF 是平行四边形，FGCE，GFCE.(2)仍然成立证明：四边形 ABCD 是正方形，ABCBCD90，ABBCCD.又CEBF，ECDFBC(SAS)，CFDE，DECCFB，DECBCF90，FCDE.EGDE，EGDE，FCGE，GECF，四边形 GECF 是平行四边形，FGCE，FGCE.(3)仍然成立变式训练4解：(1)ODOE OC.理由如下：3OM 是AOB 的角平分线，AOCBOC AOB30.12CDOA，ODC90，OCD60，OCEDCEOCD60.在 RtOCD 中，ODOCcos 30 OC.32同理 OE OC，OD
15、OE OC.32 3(2)(1)中结论仍然成立，理由如下：11如图，过点 C 作 CFOA 于 F，CGOB 于 G，OFCOGC90.AOB60，FCG120.同(1)的方法得 OF OC，OG OC，32 32OFOG OC.3CFOA，CGOB，且点 C 是AOB 的平分线 OM 上一点，CFCG.DCE120，FCG120，DCFECG，CFDCGE，DFEG，OFODDFODEG，OGOEEG，OFOGODEGOEEGODOE，ODOE OC.3(3)(1)中结论不成立，结论为：OEOD OC，3理由：如图，过点 C 作 CFOA 于 F，CGOB 于 G，OFCOGC90.AOB60，FCG120.同(1)的方法得 OF OC，OG OC，32 32OFOG OC.3CFOA，CGOB，且点 C 是AOB 的平分线 OM 上一点，CFCG.DCE120，FCG120，DCFECG，CFDCGE，DFEG，OFDFODEGOD，OGOEEG，OFOGEGODOEEGOEOD，1OEOD OC.3
