1、1(四)解析几何1(2018浙江省台州中学模拟)过抛物线 E： x22 py(p0)的焦点 F作斜率分别为 k1， k2的两条不同直线 l1， l2且 k1 k22， l1与 E相交于点 A， B， l2与 E相交于点 C， D，以AB， CD为直径的圆 M，圆 N(M， N为圆心)的公共弦所在直线记为 l. (1)若 k10， k20，证明： 0， k20， k1 k2，0b0)的两焦点分别是 F1 ， F2 ，点 Ex2a2 y2b2 ( 2， 0) (2， 0)在椭圆 C上(2，322)(1)求椭圆 C的方程；(2)设 P是 y轴上的一点，若椭圆 C上存在两点 M， N，使得 2 ，求以
2、 F1P为直径的圆MP PN 面积的取值范围解 (1)由已知，得半焦距 c ，22a| EF1| EF2| 4 ，8 92 322 2所以 a2 ，所以 b2 a2 c2826，2所以椭圆 C的方程是 1.x28 y26(2)设点 P的坐标为(0， t)，当直线 MN斜率不存在时，可得 M， N分别是短轴的两端点，得到 t ， t2 .63 23当直线 MN斜率存在时，3设直线 MN的方程为 y kx t， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得 x12 x2，MP PN 联立Error!得(34 k2)x28 ktx4 t2240，由题意，得 64 k2t24(34 k2)(
3、4t224)0，整理得 t2b0)， A， B是椭圆与 x轴的两个交点， M为椭圆 C的上顶点，x2a2 y2b2设直线 MA的斜率为 k1，直线 MB的斜率为 k2， k1k2 .23(1)求椭圆 C的离心率；(2)设直线 l与 x轴交于点 D( ，0)，交椭圆于 P， Q两点，且满足 3 ，当 OPQ的3 DP QD 面积最大时，求椭圆 C的方程解 (1) M(0， b)， A( a,0)， B(a,0)， k1 ， k2 ，ba bak1k2 ， e .ba ba b2a2 23 ca 33(2)由(1)知 e ，ca 33得 a23 c2， b22 c2，可设椭圆 C的方程为 2x23
4、 y26 c2，设直线 l的方程为 x my ，3由Error!5得(2 m23) y24 my66 c20，3因为直线 l与椭圆 C相交于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，所以 48 m24(2 m23)(66 c2)0，由根与系数的关系得， y1 y2 ， y1y2 .43m2m2 3 6 6c22m2 3又 3 ，所以 y13 y2，DP QD 代入上述两式得 66 c2 ，36m22m2 3所以 S OPQ |OD|y1 y2|12 32| 83m2m2 3| ，12|m|2|m|2 3 122|m| 3|m| 6当且仅当 m2 时，等号成立，此时 c2 ，32 52代入
5、 ，此时 0成立，所以椭圆 C的方程为 1.2x215 y255已知在平面直角坐标系中，动点 P(x， y)(x0)到点 N(1,0)的距离比到 y轴的距离大 1.(1)求动点 P的轨迹 C的方程；(2)若过点 M(2,0)的直线与轨迹 C相交于 A， B两点，设点 Q在直线 x y10 上，且满足 t (O为坐标原点)，求实数 t的最小值OA OB OQ 解 (1)方法一 因为点 P(x， y)(x0)到点 N(1,0)的距离比到 y轴的距离大 1，所以|PN|1| x|，将点 N的坐标代入，并整理得 y24 x.故点 P的轨迹 C的方程是 y24 x.方法二 因为平面上动点 P到点 N(1
6、,0)的距离比到 y轴的距离大 1，所以点 P到点 N(1,0)的距离与点 P到直线 x1 的距离相等，即点 P的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为 2，并且为开口向右的抛物线，所以点 P的轨迹 C的方程为 y24 x.(2)由题意知直线 AB的斜率存在且斜率不为 0且与抛物线 y24 x有两个交点，设直线AB： y k(x2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， Q(x， y)，由Error!得 k2x24( k21)x4 k20( k0) 16(2 k21)0 恒成立，所以 x1 x2 ， x1x24，4k2 1k2因为 t ，所以( x1 x2， y1 y2) t(x， y
7、)，OA OB OQ 6即 x ， y ，x1 x2t 4k2 1k2t y1 y2t kx1 2 kx2 2t kx1 x2 4kt 4tk又点 Q在 x y10 上，所以 10.4k2 1k2t 4tk所以 t4 4 233.(1k2 1k 1) (1k 12)故实数 t的最小值为 3.6.如图，过椭圆 M： y21 的右焦点 F作直线交椭圆于 A， C两点x22(1)当 A， C变化时，在 x轴上求定点 Q，使得 AQF CQF；(2)设直线 QA交椭圆 M的另一个交点为 B，连接 BF并延长交椭圆于点 D，当四边形 ABCD的面积取得最大值时，求直线 AC的方程解 (1)设 A(x1，
8、 y1)， C(x2， y2)， Q(q,0)，当 A， C不在 x轴上时，设直线 AC的方程为 x ty1，代入椭圆 M的方程，可得(2 t2)y22 ty10.则 y1 y2 ， y1y2 ，2t2 t2 12 t2由意题知 kAQ kCQ y1x1 q y2x2 qy1x2 q y2x1 qx1 qx2 qy1ty2 1 q y2ty1 1 qx1 qx2 q 0，2ty1y2 1 qy1 y2x1 qx2 q即 2ty1y2(1 q)(y1 y2)0，整理得2 t2 t(1 q)0，由题知无论 t取何值，上式恒成立，则 q2，当 A， C在 x轴上时，定点 Q(2,0)依然可使 AQF
9、 CQF成立，所以点 Q的坐标是(2,0)(2)由(1)知 AQF CQF， BQF DQF.所以 B， C关于 x轴对称， A， D关于 x轴对称，7所以四边形 ABCD是一个等腰梯形则四边形 ABCD的面积 S(t)| x1 x2|y1 y2| t|y1 y2|28 .t2 1|t|t2 22由对称性不妨设 t0，求导可得 S( t)8 ，t4 3t2 2t2 23令 S( t)0，可得 t2 ，3 172由于 S(t)在 上单调递增，(0， 3 172 )在 上单调递减，所以当 t2 时，四边形 ABCD的面积 S取得最大值(3 172 ， ) 3 172此时，直线 AC的方程是 x y1.3 172
