1、1考点强化练 17 直角三角形与锐角三角函数基础达标一、选择题1.已知在 ABC中, C= A+ B,则 ABC的形状是( )A.等边三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案 C2.(2018湖北孝感)如图,在 Rt ABC中, C=90,AB=10,AC=8,则 sin A等于( )A. B.C. D.答案 A解析 在 Rt ABC中, AB= 10,AC=8,BC= 6, sin A=,故选 A.二、填空3.2(2018浙江湖州)如图,已知菱形 ABCD,对角线 AC,BD相交于点 O.若 tan BAC=,AC=6,则 BD的长是 .答案 2解析 四边形 ABCD是菱形,
2、 AC=6,AC BD,OA=AC=3,BD=2OB.在 Rt OAB中, AOD=90, tan BAC=,OB= 1,BD= 2.4.(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB,飞机上的测量人员在 C处测得A,B两点的俯角分别为 45和 30.若飞机离地面的高度 CH为 1 200米,且点 H,A,B在同一水平直线上,则这条江的宽度 AB为 米(结果保留根号) . 答案 1 200(-1)解析 由于 CD HB, CAH= ACD=45, B= BCD=30,在 Rt ACH中, CAH=45AH=CH= 1 200米,在 Rt HCB中, tan B=,HB=1
3、 200(米) .3AB=HB-HA=1 200-1 200=1 200(-1)米 .三、解答题5.(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽 .(精确到0.1 m)(参考数据:1 .414,1 .732)解 如图所示,过点 A,D分别作 BC的垂线 AE,DF交 BC于点 E,F,所以 ABE, CDF均为直角三角形,又因为 CD=14 m, DCF=30,所以 DF=7(m)=AE,且 FC=7(m)12 .1(m)所以 BC=7+6+12.1=25.1(m).6.(2018四川南充)计算: - 1- 0+sin 45+.解 原式 =-1-1+2=
4、.7.小明在热气球 A上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC,并测得 B,C两点的俯角分别为 45,35.已知大桥 BC与地面在同一水平面上,其长度为 100 m,请求出热气球离地面的高度 .(结果保留整数)(参考数据:sin 35,cos 35,tan 35)4解 作 AD BC交 CB的延长线于点 D,设 AD为 x m,由题意得, ABD=45, ACD=35,在 Rt ADB中, ABD=45,DB=x.在 Rt ADC中, ACD=35, tan ACD=. ,解得, x233 .答:热气球离地面的高度约为 233 m.能力提升一、选择题1.已知 为锐角,且 2cos (- 10)=1
5、,则 等于( )A.50 B.60C.70 D.80答案 C2.(2018贵州贵阳)如图, A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为 1,则 tan BAC的值为( )A. B.1 C. D.答案 B解析 连接 BC,5由网格可得 AB=BC=,AC=,即 AB2+BC2=AC2, ABC为等腰直角三角形, BAC=45,则 tan BAC=1.3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于 A点处测得海岛 B在点 A的南偏东 30方向,继续向南航行 30海里到达 C点时,测得海岛 B在 C点的北偏东 15方向,则海岛 B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考
6、数据:1 .732,1 .414)A.4.64海里 B.5.49海里C.6.12海里 D.6.21海里答案 B解析 如图所示,由题意知, BAC=30, ACB=15,作 BD AC于点 D,以点 B为顶点、 BC为边,在 ABC内部作 CBE= ACB=15,则 BED=30,BE=CE,设 BD=x,则 AB=BE=CE=2x,AD=DE=x,6AC=AD+DE+CE= 2x+2x,AC= 30, 2x+2x=30,解得: x=5 .49,故选 B.二、填空题4.(2018山东滨州)在 ABC中, C=90,若 tan A=,则 sin B= . 答案解析 如图所示, C=90,tan A
7、=, 设 BC=x,则 AC=2x,故 AB=x,则 sin B=.5.(2018山东泰安)如图,在 ABC中, AC=6,BC=10,tan C=,点 D是 AC边上的动点(不与点 C重合),过点 D作 DE BC,垂足为 E,点 F是 BD的中点,连接 EF,设 CD=x, DEF的面积为 S,则 S与 x之间的函数关系式为 . 答案 S=-x2+x解析 (1)在 Rt CDE中,tan C=,CD=xDE=x ,CE=x,BE= 10-x,7S BED=x=-x2+3x.DF=BF ,S=S BED=-x2+x.6.(2018江苏无锡)已知 ABC中, AB=10,AC=2, B=30,
8、则 ABC的面积等于 . 答案 15或 10解析 作 AD BC交 BC(或 BC延长线)于点 D, 如图 1,当 AB,AC位于 AD异侧时,图 1在 Rt ABD中, B=30,AB=10,AD=AB sin B=5,BD=ABcos B=5,在 Rt ACD中, AC= 2,CD= ,则 BC=BD+CD=6,S ABC=BCAD=65=15; 如图 2,当 AB,AC在 AD的同侧时,图 2由 知, BD=5,CD=,则 BC=BD-CD=4,8S ABC=BCAD=45=10.综上, ABC的面积是 15或 10.三、解答题7.(2018山东临沂)如图,有一个三角形的钢架 ABC,
9、A=30, C=45,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 2.1 m的圆形门?解 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1 m的圆形门 .理由是:过点 B作 BD AC于点 D,ABBD ,BCBD,ACAB, 求出 DB长和 2.1 m比较即可,设 BD=x m, A=30, C=45,DC=BD=x m,AD=BD=x m,AC= 2(+1)m,x+x= 2(+1),x= 2,即 BD=2 m2.1 m, 工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1 m的圆形门 .8.(2018广西桂林)如图所示,在某海域,一般指挥船在 C处收到渔船在 B处发出的求救信号
10、,经确定,遇险抛锚的渔船所在的 B处位于 C处的南偏西 45方向上,且 BC=60海里;指挥船搜索发现,在 C处的南偏西 60方向上有一艘海监船 A,恰好位于 B处的正西方向 .于是命令海监船 A前往搜救,已知海监船 A的航行速度为 30海里 /小时,则渔船在 B处需要等待多长时间才能得到海监船 A的救援?(参考数据:1 .41,=1.73,2 .45,结果精确到 0.1小时)9解 因为 A在 B的正西方,延长 AB交南北轴于点 D,则 AB CD于点 D BCD=45,BD CD,BD=CD ,在 Rt BDC中, cos BCD=,BC=60海里,即 cos 45=,解得 CD=30海里,BD=CD= 30海里 .在 Rt ADC中, tan ACD=,即 tan 60=,解得 AD=30海里 .AB=AD-BD ,AB= 30-30=30()海里 . 海监船 A的航行速度为 30海里 /小时, 渔船在 B处需要等待的时间为2 .45-1.41=1.041 .0小时 .故渔船在 B处需要等待约 1.0小时 .导学号 13814055
