1、1甘肃省天水市一中 2019届高三数学上学期一轮复习第三次质量检测试题 理（满分：150 分 时间：120 分钟）一、单选题（每小题 5分，共 60分）1已知集合 ,则 （）A=x|x2,B=x|x2-4x-5 0 B CRA=A B x|2 x 5 x|-1 x 5C D x|-1 x 2 x|x- 12已知 ，则 （ ）sin(x-4)=35 cos(x+4)=A B C D 45 35 -45 -353我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何 ”意思是：“现有一根金锤，长 5尺，头部 尺，1重 斤，尾部 尺，重 斤，且从头
2、到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多4 1 2少斤 ”（ ）A 6 斤 B 7 斤 C 斤 D 斤8 94. 已知向量 且 ，则 （ ）a=(1,-2),b=(x,4),a/b, |a-b|=A B C D 53 35 25 225已知 ，则 （ ）f(x)= 2x,xf(x+1) xA B C D (-,1) (1,+)(-13,1) (-, -13) (1,+)9已知 是边长为 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值ABC 1 P ABC PA(PB+PC)是（ ）A B C D 1-18 -38 -4310.已知实数 、 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）x y x2+y
3、2=4 xyA B xy 2 xy 2C D xy 4 -2 xy 211如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )A B C D 43 23 2 32312若 均为任意实数，且 ，则 的最小值为（ x,a,b (a+2)2+(b-3)2=1 (x-a)2+(lnx-b)2）A B C D 32 18 32-1 19-62二、填空题（每小题 5分，共 20分）13若实数 满足 则 的最小值为_x,y x+y 1,2x-y 0,3x-2y+2 0, z=3x-y14三棱柱 中， ， 、 、 ，A1B1C1-ABCA1A 平面ABC AC BCA
4、1A=2 AC=1 BC= 3则该三棱柱 的外接球的表面积为 A1B1C1-ABC15.下列四个命题中真命题的序号是_“ ”是“ ”的充分不必要条件；x=1 x2+x-2=0命题 ，命题 ，则 为真命题；p:x 1,+), lgx 0 q:x0 R,x02+x0+10 x0 R,ex0 0“若 ，则 ”的逆命题是真命题.am2c) x |x2-ax+b|=cx的最小值是 ，则 _f(x)=|x2-ax+b|+cx c2ac=三、解答题（第 17题 10分，其余各题每题 12分，共 70分）17已知函数 f(x)= 3sinxcosx+sin2(x-2)-12（1）求函数 的单调增区间；f(x)
5、（2）若 ，求函数 的值域x -6,6 f(x)18已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足an bn4b1=a2=2， a5+a9=14，b4=a15+1（1）求数列 通项公式；an， bn（2）令 ，求数列 的前 项和 cn=anbn cn n Tn19如图，在ABC 中，点 P在 BC边上，PAC60，PC2，APAC4.(1)求ACP；(2)若APB 的面积是 ，求 AB20数列 中， ，当 时，其前 项和 满足 an a1=1 n 2 n SnSn2=an(Sn-12)（1）求 的表达式； Sn(2)设 ,求数列 的前 项和 bnSn2n+1 bn n Tn21如图，四棱锥 中，
6、底面 为菱形， ， 为等边三角形PABCD ABCDDAB=3 ADP（1）求证： ADPB（2）若 ， ，求二面角 的余弦值AB=2 BP= 6 DPCB22.已知函数 .f(x)=lnx+x+ax(a R)(1)若函数 在 上为增函数，求 的取值范围；f(x) 1,+ ) a5(2)若函数 有两个不同的极值点，记 ,且 证明g(x)=xf(x)-(a+1)x2-x 做 x1,x2 x1e3参考答案1 C 2 D 3 D 4B 5C 6D 7A 8 D 9 B 10 D 11 B 12 D 11【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 ，P-ACE故其体积为 选 BV=13SACEP
7、E=13(1212)2=2312D【解析】分析：该题可以看做是圆上的动点到曲线 上的动点的距离的平方的最小值y=lnx问题，可以转化为圆心到曲线 上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图y=lnx形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.详解：由题意可得，其结果应为曲线 上的点与以 为圆心，以 为半径的圆上的y=lnx C(-2,3) 1点的距离的平方的最小值，可以求曲线 上的点与圆心 的距离的最小值，在曲y=lnx C(-2,3)线 上取一点 ，曲线有 在点 M处的切线的斜率为 ，从而有y=lnx M(m,
8、lnm) y=lnxk=1m，即 ，整理得 ，解得 ，所以点 满足kCMk=-1lnm-3m+21m=-1 lnm+m2+2m-3=0 m=1 (1,0)条件，其到圆心 的距离为 ，故其结果为C(-2,3) d= (-2-1)2+(3-0)2=32，故选 D.(32-1)2=19-62点睛：解决该题的关键是分析清式子代表的意义，再者就是什么时候满足距离最小，之后应用导数的几何意义求得切线的斜率，应用两点斜率坐标公式求得直线的斜率，两条直线垂直，斜率乘积等于-1.从而求得结果.13 148 15 165-1 16【解析】【分析】由条件可得直线 与 相切，设出切点，求得二次函数的导数，可得y=cx
9、y=-x2+ax-b的方程，再由函数 的单调性，可得 的最小值，化简变形a，b，c f(x)= |x2-ax+b|+cx f(x)即可得到 的关系式，可得所求值a，c【详解】关于 的方程 恰有三个不等实根，x |x2-ax+b|=cx可得直线 与 相切相切，设切点为 ， ，y=cxy=-x2+ax-b （m，n） y=-2x+a则 ，-2m+a=c，cm=-m2-am+b消去 ，可得 mb=14（a -c） 2，设 与 轴的两个交点的横坐标为： ，即有函y=x2-ax+b xx1=a- a2-4b2 ， x2=a+ a2-4b2数 ，f(x)=|x2-ax+b|+cx当 时， 取得最小值是 ，
10、x=x1 f(x) c2即有 ca- a2-4b2 =c2，可得 a2-4b=（a -2c） 2，即为 ，a2-（a -c） 2=（a -2c） 2化为 ，（a -5c）（a -c） =0可得 或 ，a=5ca=c由 ，可得 ，ac a=5c即ac=517 k-3,k+6(k Z).-12，1 （1）f(x)= 32sin2x+12cos2x=sin(2x+6)由 ,2k-2 2x+6 2k+2k-3 x k+6(k Z)所以函数 的单调增区间是f(x)k-3,k+6(k Z).（2）由 得x -6,3 2x+6 -6,56从而 ，sin(2x+6) -12,1所以函数 的值域为 .f(x)
11、-12，1 18 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q, an=2,a5+a9=14, a1+d=2,2a1+12d=14a1=d=1. an=a1+(n-1)d=n.b1=a2=2,b14=a15+1=16=2q3, q=2, bn=2n. 数列 的前 n项和 ，(2)cn=anbn=n2n cn Tn=2+222+323+n2n，2Tn=22+223+(n-1)2n+n2n+1- Tn=2+22+2n-n2n+1=2(2n-1)2-1 -n2n+1=(1-n)2n+1-2 Tn=(n-1)2n+1+219（1） ；（2）AB60(1)在APC 中，因为PAC60，PC2
12、，APAC4，由余弦定理得 PC2AP 2AC 22APACcos PAC，所以 22AP 2(4AP) 22AP(4AP)cos 60，整理得 AP24AP40，解得 AP2.所以 AC2，所以APC 是等边三角形所以ACP60.(2)由于APB 是APC 的外角，所以APB120.因为APB 的面积是 ，所以 ，APPBsin APB .332332所以 PB3.在APB 中，AB 2AP 2PB 22APPBcos APB2 23 2223cos 12019，所以.20 （1） ；（ 2） 。Sn= 12n-1(n N) n2n+1（1） 由 an=Sn-Sn-1(n 2)得 S2n=(
13、Sn-Sn-1)(Sn-12)=S2n-12Sn-Sn-1Sn+12Sn-1得 Sn-1-Sn=2SnSn-1(n 2) 1Sn- 1Sn-1=2(n 2), 1Sn是以 1S1为首项,以2为公差的等差数列 1Sn=2n-1,Sn= 12n-1(n N)(2) bn= 1(2n-1)(2n+1)=12( 12n-1- 12n+1). Tn=12(1-13+13-15+ 12n-1- 12n+1)=12(1- 12n+1)= n2n+1（2） 641 （1）见解析（2）0【解析】【分析】（1）取 AD中点 E，连接 ，由已知可得 ，又 即可证 平PE,BE PEAD,BEAD PEBE=E AD
14、面 ，从而可得 ；PEB PBAD（2）建立相应的空间直角坐标系，应用面的法向量垂直得到其余弦值为 0.【详解】（1）因为底面 ABCD为菱形，且 ，所以 为等边三角形如下图，作 ，DAC=3 ADC BEAD则 E为 AD的中点又因为 为等边三角形，所以 PAD PEAD因为 PE和 BE为平面 PBE内的两条相交的直线，所以直线 平面 PBE，AD又因为 PB为面 PBE内的直线，所以 ADPB（2） 为等边三角形，边长为 2，PAD,BAD，所以 ， ，PE=BE= 3,PB= 6 PE2+BE2=PB2 PEEB因为 ，PEAD,ADBE=E所以 面 ，PE ABCD如图建立空间直角坐
15、标系 ，Exyz则 ，P(0,0,3),D(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0)设平面 的法向量为 ，PCD m=(x,y,z)，即 ，即 ，mPD=0mDC=0 (x,y,z)(1,0,3)=0(x,y,z)(1,3,0)=0 x3z=0x+ 3y=0 取 ，则 ， ，z=1 x=3,y=1m=(3,1,1)设平面 的法向量为 ，PCB n=(a,b,c)，即 ，即 ，nPB=0nBC=0 (a,b,c)(0,3,3)=0(a,b,c)(2,0,0)=0 3b3c=02a=0 取 ，则 ， ，c=1 a=0,b=1n=(0,1,1)因为 ， mn=0设二面角 的平面角为 ，则有
16、.DPCB cos=022(理) 1 （1） （2）见解析(-,2 (1) 函数 在 上为增函数即 在区间 上恒成立，变量分离求最值即f(x) 1,+ ) f(x) 0 1,+ )可；(2) ，要证 ，即证等价于证 ，即g(x)=xlnx-ax2+a-x x1x22e3 ln(x1x22)lne3=3.lnx1+2lnx23【详解】解:（1）由题可知，函数 的定义域为 ，f(x) (0,+ )f(x)=1x+1- ax2=x2+x-ax2 .因为函数 在区间 上为增函数，f(x) 1,+ )所以 在区间 上恒成立等价于 ，即 ，f(x) 0 1,+ ) a (x2+x)min a 2所以 的取
17、值范围是 .a (-,2 （2）由题得， 则g(x)=xlnx-ax2+a-x, g(x)=lnx-2ax.因为 有两个极值点 ，g(x) x1,x2所以 lnx1=2ax1,lnx2=2ax2.欲证 等价于证 ，即 ，x1x22e3 ln(x1x22)lne3=3 lnx1+2lnx23所以ax1+2ax232.因为 ，所以原不等式等价于 .0 32x1+4x2由 可得 ，则 .lnx1=2ax1,lnx2=2ax2,lnx2x1=2a(x2-x1) a=lnx2x12(x2-x1)由可知，原不等式等价于 ，即lnx2x1x2-x1 3x1+2x2lnx2x13(x2-x1)x1+2x2=3(x2x1-1)1+2x2x1.设 ，则 ，则上式等价于 .t=x2x1 t1 lnt3(t-1)1+2t(t1)令 ，则h(t)=lnt-3(t-1)1+2t(t1) h(t)=1t-3(1+2t)-6(t-1)(1+2t)2 =(t-1)(4t-1)t(1+2t)2.因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，t1 h(t)0 h(t) (1,+ )所以当 时， ，即 ，t1 h(t)h(1)=0lnt3(t-1)1+2t所以原不等式成立，即 .x1x22e3
