1、186 分项练 11 圆锥曲线1(2018大连模拟)设椭圆 C： y21 的左焦点为 F，直线 l： y kx(k0)与椭圆 C 交x24于 A， B 两点，则 的值是( )|AF| |BF|A2 B2 C4 D43 3答案 C解析 设椭圆的右焦点为 F2，连接 AF2， BF2，因为| OA| OB|，| OF| OF2|，所以四边形 AFBF2是平行四边形，所以| BF| AF2|，所以| AF| BF| AF| AF2|2 a4.2(2018洛阳统考)已知双曲线 1( b0)的右焦点与抛物线 y212 x 的焦点重合，x24 y2b2则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. B3
2、C5 D45 2答案 A解析 因为抛物线 y212 x 的焦点坐标为 ，(3， 0)依题意得 4 b29，所以 b25，所以双曲线的方程为 1，x24 y25所以其渐近线方程为 y x，52所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为2 .| 53 0|5 4 53(2018重庆模拟)已知抛物线 y24 x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于 M， N两点，与抛物线的准线交于 P， Q 两点，若四边形 MNPQ 为矩形，则矩形 MNPQ 的面积是( )A16 B12 C4 D33 3 3答案 A解析 根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得| PQ| MN|，从而得到圆心 F 到准线的距离与
3、到 MN 的距离是相等的，所以 M 点的横坐标为 3，代入抛物线方程，设 M 为 x 轴上方的交点，从而求得 M(3,2 )， N(3，2 )，3 3所以| MN|4 ， 4，3 |NP|从而求得四边形 MNPQ 的面积为 S44 16 .3 34(2018昆明模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)，圆 M： 2 y2 p2，直线 l： y k(xp2)(k0)，自上而下顺次与上述两曲线交于 A1， A2， A3， A4四点，则 等(xp2) | 1|A1A2| 1|A3A4|于( )A. B. C p D.1p 2p p2答案 B解析 圆 M： 2 y2 p2的圆心为抛物线的焦点 F
4、，半径为 p.(xp2) (p2， 0)直线 l： y k 过抛物线的焦点 F .(xp2) (p2， 0)设 A2(x1， y1)， A4(x2， y2)不妨设 k .p2 p2|A1A2| A1F| A2F| p x1，(x1p2) p2|A3A4| A4F| A3F| p x2 .(x2p2) p2由Error! 得 k2x2 p(k22) x 0，k2p24所以 x1 x2 ， x1x2 .pk2 2k2 p243所以 |1|A1A2| 1|A3A4| | 1p2 x1 1x2 p2| |x2 p2 (p2 x1)(p2 x1)(x2 p2)| |x1 x2 pp2x1 x2 x1x2
5、 p24| .|pk2 2k2 pp2pk2 2k2 p24 p24| 2p5(2018江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线 C： y22 px(p0)，过其焦点F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，若 3 ，且抛物线 C 上存在点 M 与 x 轴上一点 N(7,0)AF FB 关于直线 l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A4 B5 C. D6112答案 D解析 抛物线 y22 px(p0)的准线为 l： x ，p2如图所示，当直线 AB 的倾斜角为锐角时，分别过点 A， B 作 AP l， BQ l，垂足为 P， Q，过点 B 作 BD AP 交 AP 于点 D，则
6、| AP| AF|，| BQ| BF|，| AF|3| BF| |AB|，34| AP| BQ| AD| AF| BF| |AB|，12在 Rt ABD 中，由| AD| |AB|，12可得 BAD60， AP x 轴， BAD AFx60，4 kABtan 60 ，3直线 l 的方程为 y ，3(xp2)设 M 点坐标为( xM， yM)，由Error!可得 xM p ， yM ，34 72 32(7 p2)代入抛物线的方程化简可得3p24 p840，解得 p6(负值舍去)，该抛物线的焦点到准线的距离为 6.6已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF
7、2 ，则椭 4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A. B.12 22C1 D. 2答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为 e1， e2，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，半焦距为 c， P 为第一象限内的公共点，则Error!解得| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2，所以 4c2( a1 a2)2( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos ， 4所以 4c2(2 )a (2 )a ，2 21 2 2所以 4 2 ，2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 22e1e2所以 e1e2 ，故选 B.227(2017全国)设 A， B
8、是椭圆 C： 1 长轴的两个端点若 C 上存在点 M 满足x23 y2m AMB120，则 m 的取值范围是( )A(0,19，) B(0， 9，)3C(0,14，) D(0， 4，)3答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在 x 轴上，5则 03 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 AMB120，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,19，)故选 A.8已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， P 为双曲线右支上一点x2a2 y2b2(异于右顶点)， PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(2,0)过 F2作直线 l
9、 与双曲线交于 A， B 两点，若使| AB| b2的直线 l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( )A(1， ) B(1,2)26C( ，) D(2，)2答案 C解析 | F1F2|2 c(c2 a2 b2)，设 PF1F2的内切圆分别与 PF1， F1F2， PF2切于点 G， H， I，则| PG| PI|，| F1G| F1H|，| F2H| F2I|.由双曲线的定义知2a| PF1| PF2| F1G| F2I| F1H| F2H|，又| F1H| F2H| F1F2|2 c，故| F1H| c a，| F2H| c a，所以 H(a,0)，即 a2.注意到这样的事实：若直线 l
10、 与双曲线的右支交于 A， B 两点，则当 l x 轴时，| AB|有最小值 b2；2b2a若直线 l 与双曲线的两支各交于一点( A， B 两点)，则当 l y 轴时，| AB|有最小值 2a，于是，由题意得 b22a4， b2， c 2 ，a2 b2 2所以双曲线的离心率 e .故选 C.ca 29(2018唐山模拟)已知 P 是抛物线 y24 x 上任意一点， Q 是圆 2 y21 上任意一(x 4)点，则| PQ|的最小值为_答案 2 13解析 设点 P 的坐标为 ，(14m2， m)由圆的方程 2 y21，(x 4)可得圆心坐标 A ，(4， 0)| PA|2 2 m2 21212，
11、(14m2 4) 116(m2 8)| PA|2 ，3 Q 是圆 2 y21 上任意一点，(x 4)| PQ|的最小值为 2 1.310已知 F1， F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆交渐x2a2 y2b2近线 ay bx 于点 P(P 在第一象限)， PF1交双曲线左支于 Q，若 Q 是线段 PF1的中点，则该双曲线的离心率为_答案 157解析 联立直线方程与圆的方程Error!结合 c2 a2 b2，且点 P 位于第一象限可得 P(a， b)，双曲线的左焦点为 F1( c,0)，则 PF1的中点为 Q ，(a c2 ， b2)点 Q 在双曲线上，则
12、1，(a c)24a2 b24b2整理可得 c22 ac4 a20，即 e22 e40，解得 e1 ，5又双曲线的离心率 e1，故 e 1.511(2018三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆 C 过点 ，且 C 的一个焦点坐标为(1，255)(2,0)，则 C 的标准方程为_答案 y21x25解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(2,0)，则 2a 1 22 45 1 22 45 2 ，75 355 5所以 a ，因为 c2，所以 b 1，5 5 4从而得到椭圆的标准方程为 y21.x2512在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 不与点 O 重合，称射线 OM 与圆 x2 y21 的交点 N
13、 为点 M 的“中心投影点” (1)点 M(1， )的“中心投影点”为_；3(2)曲线 x2 1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是_y23答案 (1) (2)(12， 32) 43解析 (1)| OM| 2，| ON|1，12 32所以 ，则 N 点坐标为 .ON 12OM (12， 32)(2)双曲线 x2 1 的渐近线方程为 y x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点y23 3是单位圆上夹在两渐近线之间的与 x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为 ，因此弧 38长为 2 1 .23 4313已知点 F1， F2分别是双曲线 C： x2 1( b0)的左、右焦点， O 为坐标
14、原点，点 P 在y2b2双曲线 C 的右支上，且满足| F1F2|2| OP|，tan PF2F14，则双曲线 C 的半焦距的取值范围为_答案 (1，173解析 由| F1F2|2| OP|可得 PF1F2为直角三角形， F1PF290，tan PF2F14，即| PF1|4| PF2|，| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，又| PF1| PF2|2 a，可得| PF2| a，23由(| PF2|2 a)2| PF2|24 c2化为(| PF2| a)22 c2 a2 2，可得 c ，(23a a) 173又双曲线中 ca1，所以双曲线 C 的半焦距的取值范围为 .(1，17314(
15、2018威海模拟)抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F， P， Q 是抛物线上的两个动点，线段 PQ 的中点为 M，过 M 作抛物线准线的垂线，垂足为 N，若| MN| PQ|，则 PFQ 的最大值为_答案 3解析 如图所示，分别过 P， Q 作抛物线准线的垂线，垂足为 A， B，设| PF|2 a，| QF|2 b，由抛物线定义，得| PF| PA|，| QF| QB|，在梯形 ABQP 中，2| MN| PA| QB|2 a2 b，| MN| a b.若 PQ 过焦点 F，则| PQ| PF| QF|2 a2 b，又| MN| a b，且| MN| PQ|，2 a2 b a b， a b0，显然不成立，9 PQ 不过焦点 F.| MN| PQ|，| PQ| a b，设 PFQ ，由余弦定理得，(a b)24 a24 b28 abcos ， a2 b22 ab4 a24 b28 abcos ，cos ，3a2 3b2 2ab8ab 6ab 2ab8ab 12当且仅当 a b 时取等号，又 (0，)，0 ， 3 PFQ 的最大值为 . 3
