1、186 分项练 2 不等式与推理证明1(2018合肥模拟)已知非零实数 a， b 满足 a|a|b|b|，则下列不等式一定成立的是( )A a3b3 B a2b2C. b2与 log 1|a|0， b0，并且 ， 成等差数列，则 a9 b 的最1a12 1b小值为( )A16 B9 C5 D4答案 A解析 ， 成等差数列， 1.1a12 1b 1a 1b a9 b( a9 b) 10 102 16，当且仅当 且 1，即(1a 1b) ab 9ba ab9ba ab 9ba 1a 1ba4， b 时等号成立434有三支股票 A， B， C,28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票
2、，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票则只持有 B 股票的股民人数是( )A7 B6C5 D4答案 A解析 设只持有 A 股票的人数为 X(如图所示)，则持有 A 股票还持有其它股票的人数为 X1(图中 d e f 的和)，因为只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票，则只持有了 B 或 C 股票的人数和为 X(图中 b c 部分)假设只同时持有了 B 和 C 股票的人数为 a(如图所示)，那么 X X1
3、X a28，即 3X a29，则 X 的取值可能是 9,8,7,6,5,4,3,2,1.与之对应的 a 值为 2,5,8,11,14,17,20,23,26.3因为没持有 A 股票的股民中，持有 B 股票的人数为持有 C 股票人数的 2 倍，得b a2( c a)，即 X a3 c，故当 X8， a5 时满足题意，故 c1， b7，故只持有 B股票的股民人数是 7，故选 A.5(2018哈尔滨师范大学附属中学模拟)设点( x， y)满足约束条件Error!且 xZ， yZ，则这样的点共有( )A12 个 B11 个 C10 个 D9 个答案 A解析 画出Error!表示的可行域(含边界)，由图
4、可知，满足 xZ， yZ 的( x， y)有(4，1)，(3,0)，(2,1)，(2,0)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共 12 个6.几何原本卷 2 的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点 F 在半圆 O 上，点 C 在直径 AB 上，且 OF AB，设AC a， BC b，则该图形可以完成的无字证明为( )A. (a0， b0)a b2 abB a2 b22 ab(a0， b0)C. (a0
5、， b0)2aba b abD. (a0， b0)a b2 a2 b22答案 D解析 由 AC a， BC b，可得圆 O 的半径 r ，a b24又 OC OB BC b ，a b2 a b2则 FC2 OC2 OF2 ，a b24 a b24 a2 b22再根据题图知 FO FC，即 ，当且仅当 a b 时取等号故选 D.a b2 a2 b227已知实数 x， y 满足约束条件Error!如果目标函数 z x ay 的最大值为 ，则实数 a 的163值为( )A3 B.143C3 或 D3 或143 113答案 D解析 先画出线性约束条件所表示的可行域(含边界)，当 a0 时不满足题意，故
6、 a0.目标函数化为 y x z，当 a0 时， 0，1a(3)当 00， n0)的最大值为 4，则 的最小值为_1m 1n答案 2解析 作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)由可行域知可行域内的点( x， y)均满足 x0， y0.所以要使 z mx ny(m0， n0)最大，只需 x 最大， y 最大即可，即在点 A 处取得最大值联立Error! 解得 A(2,2)所以有 2m2 n4，即 m n2. (m n) (22)2.1m 1n 12 (1m 1n) 12(1 mn nm 1) 12当且仅当 m n1 时， 取得最小值 2.1m 1n12(2018湘潭模拟)设 x， y
7、 满足约束条件Error!若 的最大值为 2，则 z x y 的最小x yx y值为_答案 158解析 令 X x y， Y x y，则 x ， y ，X Y2 X Y27所以Error! 等价于Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，则 表示可行域内一点( X， Y)与原点的连线的斜率，x yx y YX由图象可知，当 X2 a ， Y 时， 取得最大值，则 2 ，12 12 YX 12 (2a 12)解得 a ，38联立Error! 解得 Y ，158所以 z 的最小值为 .15813中国古代数学名著周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之” ，用符号表示为 a2
8、 b2 c2 (a， b， cN *)，我们把 a， b， c 叫做勾股数下列给出几组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41，以此类推，可猜测第五组勾股数的三个数依次是_答案 11,60,61解析 由前四组勾股数可得第五组的第一个数为 11，第二，三个数为相邻的两个整数，可设为 x， x1，所以( x1) 211 2 x2，所以 x60，所以第五组勾股数的三个数依次是 11,60,61.14(2018漳州质检)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基
9、于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段 AB 的长度为 a，在线段 AB 上取两个点 C， D，使得 AC DB AB，以 CD 为一边在14线段 AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段 CD，得到图 2 中的图形；对图 2 中的最上方的线段 EF 做相同的操作，得到图 3 中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：8记第 n 个图形(图 1 为第 1 个图形)中的所有线段长的和为 Sn，现给出有关数列 Sn的四个命题：数列 Sn是等比数列；数列 Sn是递增数列；存在最小的正数 a，使得对任意的正整数 n，都有 Sn2 018；存在最大的正数 a，使得对任
10、意的正整数 n，都有 Sn2 018.其中真命题是_(请写出所有真命题的序号)答案 解析 由题意，得图 1 中的线段为 a， S1 a，图 2 中的正六边形的边长为 ，a2S2 S1 4 S12 a，a2图 3 中的最小正六边形的边长为 ，a4S3 S2 4 S2 a，a4图 4 中的最小正六边形的边长为 ，a8S4 S3 4 S3 ，a8 a2由此类推， Sn Sn1 (n2)，a2n 3即 Sn为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确；因为 Sn S1( S2 S1)( S3 S2)( Sn Sn1 ) a2 a a aa2 a2n 32a(1 12n 1)1 12 a4 a 5a， n2，(112n 1)9又 S1 a5a，所以存在最大的正数 a ，2 0185使得对任意的正整数 n，都有 Sn2 018，即正确，错误
