1、1(二)直线与圆锥曲线(2)1(2018威海模拟)已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点 F，直线 y4 与 y 轴的交点为P，与抛物线 C 的交点为 Q，且| QF|2| PQ|.(1)求 p 的值；(2)已知点 T(t，2)为 C 上一点， M， N 是 C 上异于点 T 的两点，且满足直线 TM 和直线 TN的斜率之和为 ，证明直线 MN 恒过定点，并求出定点的坐标83解 (1)设 Q(x0,4)，由抛物线定义知| QF| x0 ，p2又| QF|2| PQ|，即 2x0 x0 ，解得 x0 ，p2 p2将点 Q 代入抛物线方程，解得 p4.(p2， 4)(2)由(1)知， C 的
2、方程为 y28 x，所以点 T 坐标为 ，(12， 2)设直线 MN 的方程为 x my n，点 M ， N ，(y218， y1) (y28， y2)由Error!得 y28 my8 n0， 64 m232 n0.所以 y1 y28 m， y1y28 n，所以 kMT kNT y1 2y218 12y2 2y28 122 8y1 2 8y2 28y1 y2 32y1y2 2y1 y2 4 ，64m 32 8n 16m 4 83解得 n m1，所以直线 MN 的方程为 x1 m(y1)，恒过定点(1，1)2(2018南昌模拟)已知动圆 C 过点 F(1,0)，且与直线 x1 相切(1)求动圆圆
3、心 C 的轨迹方程 E；(2)已知点 P(4，4)， Q(8,4)，过点 Q 的直线 l 交曲线 E 于点 A， B，设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值，并求出此定值解 (1)设 C(x， y)，由 ，x 12 y2 |x 1|得动圆圆心 C 的轨迹方程 E 为 y24 x，(2)依题意知直线 AB 的斜率不为 0，设 AB 方程为 x8 m(y4)，即 x my4 m8，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!得 y24 my16 m320，且 0 恒成立， y1 y24 m， y1y216 m32， kPAkPB y1 4x1 4
4、y2 4x2 4 y1 4y214 4y2 4y24 4 16y1 4y2 416y1y2 4y1 y2 16 1(定值)1616m 32 16m 163(2018四省名校大联考)如图，在平面直角坐标系中，已知点 F(1,0)，过直线 l： x4左侧的动点 P 作 PH l 于点 H， HPF 的角平分线交 x 轴于点 M，且| PH|2| MF|，记动点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；3(2)过点 F 作直线 l交曲线 C 于 A， B 两点，设 ，若 ，求| AB|的取值范AF FB 12， 2围解 (1)设 P(x， y)，由题意可知| MF| PF|，所以 ，|PF|P
5、H| |MF|PH| 12即 ，化简整理得 1，x 12 y2|x 4| 12 x24 y23即曲线 C 的方程为 1.x24 y23(2)由题意，得直线 l的斜率 k0，设直线 l的方程为 x my1，由Error!得(3 m24) y26 my90.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 (6 m)236(3 m24)144( m21)0 恒成立，且 y1 y2 ， y1y2 ， 6m3m2 4 93m2 4又因为 ，所以 y1 y 2，AF FB 联立，消去 y1， y2，得 ，4m23m2 4 12因为 2 ， 12 1 0， 12所以 0 ，4m23m2 4 12解得 0
6、 m2 .45又| AB| |y1 y2|m2 1 m2 1y1 y22 4y1y212m2 123m2 44 ，43m2 4因为 43 m24 ，325所以| AB|4 .43m2 4 3， 278所以| AB|的取值范围是 .3，27844(2018合肥模拟)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 1( ab0)的x2a2 y2b2离心率为 ，短轴长为 4 .22 2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 A 为椭圆 C 的左顶点， P 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的点，直线 PA 交 y 轴于点 M，点 N在 y 轴上，且 0，设直线 AN 交椭圆 C 于另一点 Q，求
7、 APQ 面积的最大值MF FN 解 (1)由题意得Error!解得Error!所以椭圆 C 的标准方程为 1.x216 y28(2)由题意可设直线 PA 的方程为 y k(x4)， k0，则 M(0,4k)，又 F(2 ，0)，且 0，2 MF FN 所以 MF FN，所以直线 FN 的方程为 y (x2 )，224k 2则 N ，联立Error!(0， 2k)消去 y 并整理得(12 k2)x216 k2x32 k2160，解得 x14， x2 ，4 8k21 2k2则 P ，(4 8k21 2k2， 8k1 2k2)直线 AN 的方程为 y (x4)，12k同理可得 Q ，(8k2 41
8、 2k2， 8k1 2k2)所以 P， Q 关于原点对称，即 PQ 过原点，所以 APQ 的面积 S OA|yP yQ|122 8 ，16k1 2k2 322k 1k 25当且仅当 2k ，即 k 时，等号成立，1k 22所以 APQ 面积的最大值为 8 .25(2018峨眉山模拟)如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(2,0)，与 y 轴正半轴相交于两点M， N(点 M 在点 N 的下方)，且| MN|3.(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M 任作一条直线与椭圆 1 相交于两点 A， B，连接 AN， BN，求证：x28 y24 ANM BNM.(1)解 由题意可知圆心的坐标为 .(2，
9、r)| MN|3， r2 22 2 ， r ，(32) 254 52圆 C 的方程为( x2) 2 2 .(y52) 254(2)证明 由圆 C 方程可得 M(0,1)， N(0,4)，当 AB 斜率不存在时， ANM BNM0；当 AB 斜率存在时，设直线 AB 方程为 y kx1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 得(12 k2)x24 kx60，x1 x2 ， x1x2 ，4k1 2k2 61 2k2 kAN kBN y1 4x1 y2 4x22kx1x2 3x1 x2x1x2 0，2k( 61 2k2) 3( 4k1 2k2) 61 2k2 kAN kBN0，综上所述， ANM BNM.
