1、11.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1 过正棱台两底面中心的截面一定是( )A.直角梯形 B.等腰梯形C.一般梯形或等腰梯形 D.矩形答案： C2 如图是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线折叠即可还原),则这个多面体的顶点数为( )A.6 B.7C.8 D.9解析： 还原几何体,如图 .由图观察知,该几何体有 7 个顶点 .答案： B3 一个正四面体的各条棱长都是 a,则这个正四面体的高是( )A. a B. a C. a D.33 63 22解析： 因为正四面体底面外接圆半径为 a,所以正四面体的高为 h= a.33 2-(33)2=63答案： B4 有四种说法 : 底面是矩形的平行
2、六面体是长方体; 棱长相等的直四棱柱是正方体; 有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体; 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 .以上说法中,正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析： 不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体; 不正确,当底面是菱形时就不是正方体; 不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体; 正确,因为对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体,故选 A.答案： A25 如果正四棱台两底面边长分别为 3 cm 和 5 cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为( )A.2
3、cm2 B.16 cm2C.25 cm2 D.4 cm2解析： 如图,取 AA,BB 的中点分别为 E,F,所以 EF= (3+5)=4(cm).12则 S 中截面 =42=16(cm2).答案： B 6 如图,几何体 均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,几何体 由 15 个棱长为 1 的小正方体构成 .现从几何体 中选出三个放到几何体 上,使得几何体 成为一个棱长为 3 的大正方体 .则下列几何体中,能够完成任务的为( )A.几何体 B.几何体 C.几何体 D.几何体 解析： 本题主要考查正方体的结构特征等知识,同时考查分析问题和解决问题的能力 .观察得先将 放入 中的空缺处,然后上面可
4、放入 ,其余可以验证不合题意 .故选 A.答案： A7 一个棱柱有 10 个顶点,所有的侧棱长的和为 60 cm,则每条侧棱的长为 . 解析： n 棱柱有 2n 个顶点,由于此棱柱有 10 个顶点,那么此棱柱为五棱柱 .又棱柱的侧棱长都相等,五条侧棱长的和为 60 cm,可知每条侧棱的长为 12 cm.答案： 12 cm8 下列关于四棱柱的四个命题: 若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; 若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;3 若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱 .其中真命题的序号是 . 解析： 根据直
5、四棱柱的性质判断 .答案： 9 在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,则这些几何形体是 .(写出所有正确结论的序号) 矩形; 不是矩形的平行四边形; 有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; 每个面都是等边三角形的四面体; 每个面都是直角三角形的四面体 .解析： 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABC1D1、四边形 A1B1CD 等都是矩形,故 正确; A1-ABD 是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,故 正确; A1-BC1D 是每个面都是等边三角形的四面体,故 正确; B1-BCD 是每个面都是
6、直角三角形的四面体 .因此 都符合条件 .答案： 10 已知长方体的表面积为 11,12 条棱的长度之和为 24,求这个长方体的对角线长 .解 设长方体从同一顶点出发的 3 条棱长分别为 a,b,c,对角线长为 l,则有 2(+)=11,4(+)=24, 即 2(+)=11,+=6, 由 平方,得 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,所以 a2+b2+c2=25,即 =5,所以 l=5.2+2+2所以这个长方体的对角线的长为 5. 11 如图, 正六棱锥的底面周长为 24,O 为底面中心, H 是 BC 的中点, SHO=60.4求:(1)斜高;(2)棱锥的高;(3)侧棱长 .解
7、因为正六棱锥的底面周长为 24,所以正六棱锥的底面边长为 4.在正六棱锥 S-ABCDEF 中,因为 H 是 BC 的中点,所以 SH BC.(1)在 Rt SOH 中, OH= BC=2 ,323因为 SHO=60,所以 SHcos 60=OH,所以斜高 SH= =2OH=4 .603(2)在 Rt SOH 中,高 SO=SHsin 60=6.(3)如图,连接 OB,在 Rt SOB 中, SO=6,OB=BC=4,所以侧棱长 SB= =2 .2+2 13 12 一个棱台的上、下底面面积之比为 4 9,若棱台的高是 4 cm,求截得这个棱台的原棱锥的高 .解 如图,将棱台还原为棱锥,设 PO 是原棱锥的高, O1O 是棱台的高 . 棱台的上、下底面面积之比为 4 9, 它们的底面对应边之比A1B1AB= 2 3,PA 1PA= 2 3.A 1O1 AO, ,1=1即 .-1 =-4=23PO= 12 cm,即原棱锥的高是 12 cm.
