1、1第一课时 直线与平面垂直1若直线 a 平面 ,直线 b ,则直线 a与 b的关系是( )A.a b,且 a与 b相交B.a b,且 a与 b不相交C.a bD.a与 b不一定垂直解析： 因为 b ,则在平面 内存在一条直线 c,使得 b c,因为直线 a平面 ,c ,所以a c.因为 b c,所以 a b.当 b与 a相交时为相交垂直,当 b与 a不相交时为异面垂直,故选 C.答案： C2如图 ,BC是 Rt ABC的斜边, PA平面 ABC,PD BC,则图中直角三角形的个数是( )A.8B.7C.6D.5解析： 易知 PA AC, PA AD,PA AB,BC AD,BC PD,AC A
2、B.图中的直角三角形分别为 PAC,PAD, PAB, ADC, ADB, PCD, PDB, ABC,共 8个,故选 A.答案： A3设 表示平面 ,a,b,l表示直线,给出下列四个命题: l ; b ; b ; a . 其中正确的命题是( )A. B.C. D.2解析： 中当 a,b相交时才成立; 中由 a ,a b知 b 或 b 或 b 或 b与 相交; 中当 a垂直于平面 内的两条相交直线时,有 a ,若 a只垂直于平面 内的一条直线,则不能得出 a ,从而不正确 .答案： D4已知直线 a,b与平面 ,给出下列四个命题: 若 a b,b ,则 a ; 若 a ,b ,则 a b; 若
3、 a ,b ,则 a b; 若 a ,b ,则 a b.其中正确命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案： A5在正方形 SG1G2G3中, E,F分别是 G1G2和 G2G3的中点, D是 EF的中点,现在沿 SE,SF和 EF把这个正方形折起,使点 G1,G2,G3重合,重合后的点记为 G,则下列结论成立的是( )A.SD平面 EFGB.SG平面 EFGC.GF平面 SEFD.GD平面 SEF解析： 折起后 SG GE,SG GF,又 GF与 GE相交于点 G,所以 SG平面 EFG.答案： B6如图 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,线段 B1D1上有两个动
4、点 E,F,且 EF=,则下列结论中错误的是( )A.AC BEB.EF平面 ABCDC.三棱锥 A-BEF的体积为定值D. AEF的面积与 BEF的面积相等答案： D7对于四面体 ABCD,给出下列四个命题:3 若 AB=AC,BD=CD,则 BC AD; 若 AB=CD,AC=BD,则 BC AD; 若 AB AC,BD CD,则 BC AD; 若 AB CD,BD AC,则 BC AD.其中真命题的序号是 . 解析： 对于命题 ,取 BC的中点 E.连接 AE,DE,则 BC AE,BC DE,所以 BC AD.对于命题 ,过 A向平面 BCD作垂线 AO,如图,连接 BO并延长与 CD
5、交于点 G,则 CD BG,同理CH BD.所以 O为 BCD的垂心,连接 DO,则 BC DO,BC AO,所以 BC AD.答案： 8如图 ,已知在矩形 ABCD中, AB=1,BC=a,PA平面 ABCD,若在 BC上只有一个点 Q满足 PQ QD,则 a的值等于 . 解析： 因为 PA平面 ABCD,所以 PA QD.又因为 PQ QD,PA PQ=P,所以 QD平面 PAQ.所以 AQ QD,即 Q在以 AD为直径的圆上,当圆与 BC相切时,点 Q只有一个,故 BC=2AB=2.答案： 29如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” .在一个正方体中,由两
6、个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 . 4解析： 正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12个“正交线面对”,所以共有 36个“正交线面对” .答案： 3610如图 ,在四棱锥 P-ABCD中, PD平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2, AB DC, BCD=90.(1)求证: PC BC;(2)求点 A到平面 PBC的距离 .(1)证明 因为 PD平面 ABCD,BC平面 ABCD,所以 PD BC.由 BCD=90,得 BC DC.又因为 PD D
7、C=D,PD平面 PCD,DC平面 PCD,所以 BC平面 PCD.因为 PC平面 PCD,所以 PC BC.(2)解 连接 AC,设点 A到平面 PBC的距离为 h.因为 AB DC, BCD=90,所以 ABC=90.从而由 AB=2,BC=1,得 ABC的面积 S ABC=1.由 PD平面 ABCD及 PD=1,得三棱锥 P-ABC的体积 V= S ABCPD= .13 13因为 PD平面 ABCD,DC平面 ABCD,所以 PD DC.又 PD=DC=1,所以 PC= .2+2=2由 PC BC,BC=1,得 PBC的面积 S PBC= ,22由 V= S PBCh= h= ,得 h=
8、 .13 1322 13 2因此,点 A到平面 PBC的距离为 .2 11 如图, 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面 ABC为正三角形, M,N,G分别是棱 CC1,AB,BC的中点,且 CC1= AC.25求证:(1) CN平面 AMB1;(2)B1M平面 AMG.证明 (1)设 AB1的中点为 P,连接 NP,MP.因为 CM AA1,且 CM= AA1,NP AA1,且 NP= AA1,12 12所以 CM NP,且 CM=NP.所以四边形 CNPM是平行四边形 .所以 CN MP.因为 CN平面 AMB1,MP平面 AMB1,所以 CN平面 AMB1.(2)因为 CC1平面 ABC,所以 CC1 AG.由 ABC是正三角形得 AG BC,又因为 BC CC1=C,所以 AG平面 CC1B1B.所以 B1M AG.因为 CC1平面 ABC,所以 CC1 AC.设 AC=2a,则 CC1=2 a.2在 Rt MCA中, AM= a.2+2=6同理, B1M= a.6因为 BB1 CC1,所以 BB1平面 ABC.所以 BB1 AB.所以 AB1= =2 a.12+2=12+2 36所以 AM2+B1M2=A .21所以 B1M AM.又因为 AG AM=A,AG平面 AMG,AM平面 AMG,所以 B1M平面 AMG.
