1、11.1.1 集合的概念课时过关能力提升1 下列指定的对象 ,不能构成集合的是( )A.一年中有 31 天的月份B.数轴上到原点的距离等于 1 的点C.满足方程 x2-2x-3=0 的 xD.某校高一(1)班性格开朗的女生答案 D2 若集合 A 中只含有一个元素 a,则下列关系表示正确的是( )A.a A B.aAC.a=A D.A=答案 A3 已知集合 A 是由 0,m,m2-3m+2 三个元素构成的集合,且 2 A,则实数 m 的值为( )A.2 B.3C.0 或 3 D.0 或 2 或 3解析 由题意,知 m=2 或 m2-3m+2=2,解得 m=2 或 m=0 或 m=3.经检验,当
2、m=0 或 m=2 时,不满足集合 A 中元素的互异性;当 m=3 时,满足题意 .综上可知, m=3.答案 B4 有下列命题 : 集合 N 中最小的正数是 1; 若 -aN,则 aN; x 2-6x+9=0 的解集中的元素为 3,3; 由元素 4,3,2与 3,2,4 构成的集合是同一个集合 .其中正确的个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 正确; 中若 a 取 -1,有 -aN,但 aN,故 错误; 中方程的解为 x1=x2=3,根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有 3,故 错误 .答案 C5 已知集合 A 是无限集,且集合 A 中的元素为 12,22,32,42,若 m
3、A,n A,则 m n A.其中“” 表示的运算可以是( )A.加法 B.减法C.乘法 D.除法解析 因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方,所以选 C.答案 C6 已知集合 P 中含有 0,2,5 三个元素,集合 S 中含有 1,2,6 三个元素 .如果定义集合 T 中的元素是 x+y,其中 x P,y S,那么集合 T 中元素的个数是( )2A.6 B.7C.8 D.9解析 因为 0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以 T 中含有 8 个元素1,2,6,3,4,8,7,11.答案 C7 由实数 a,-a,
4、|a|, 组成的集合中最多含有 个元素,最少含有 个元素 . 2,33答案 2 18 已知方程 x2-4x+3=0 和 x2+4x-5=0 的实数根组成的集合分别记为 A 和 B,若 x A,且 xB,则 x= .解析 由已知得集合 A 中含有 1 和 3 两个元素,集合 B 中含有 1 和 -5 两个元素,因此当 x A,且 xB时, x=3.答案 39 对于由元素 2,4,6 构成的集合,若 a A,则 6-a A.其中 a 的值是 . 解析 当 a=2 时,6 -a=4 A;当 a=4 时,6 -a=2 A;当 a=6 时,6 -a=0A.因此 a 的值为 2 或 4.答案 2 或 41
5、0 若 x 为实数 ,则由对象 x,x2-x,x3-3x 能构成一个集合吗?如果能构成集合,请说明理由;如果不能,请给出附加条件,使它们构成一个集合 .解 由于 x 为实数, x,x2-x,x3-3x 这三个实数有可能相等,此时不满足集合中元素的互异性,因此,它们不一定能构成集合 .由 x=x2-x,得 x=0 或 x=2;由 x=x3-3x,得 x=0 或 x=2;由 x2-x=x3-3x,得 x=0 或 x=2 或 x=-1,故只有增加条件 x0,且 x -1,且 x -2,且 x2,由对象 x,x2-x,x3-3x 才能构成一个集合 .11 方程 ax2+2x+1=0,aR 的根构成集合
6、 A.(1)当 A 中有且只有一个元素时,求 a 的值,并求此元素;(2)当 A 中至少有一个元素时,求 a 满足的条件 .解 (1)A 中有且只有一个元素,即 ax2+2x+1=0 有且只有一个根或有两个相等的实根 . 当 a=0 时,方程的根为 x=- ;12 当 a0 时,由 = 4-4a=0,得 a=1,此时方程的两个相等的根为 x1=x2=-1.综上可知,当 a=0 时,集合 A 中的元素为 - ;12当 a=1 时,集合 A 中的元素为 -1.(2)A 中至少有一个元素,即方程 ax2+2x+1=0 有两个不相等的实根或有两个相等的实根或有一个实根 . 当方程有两个不相等的实根时,
7、 a0,且 = 4-4a0,即 a1,且 a0; 当方程有两个相等的实根时, a0,且 = 4-4a=0,即 a=1; 当方程有一个实根时, a=0,3此时 2x+1=0,得 x=- ,符合题意 .12由 可知,当 A 中至少有一个元素时, a 满足的条件是 a1 . 12 已知集合 A 中的元素满足性质:若实数 a A,a1,则 A.11-(1)若 a=2 A,试探究集合 A 中一定含有另外的元素;(2)说明集合 A 不是单元素集合 .分析 解此题的关键在于由已知 a A,a1,得到 A, A,然后逐步探究,再根据11- 11- 11-集合中元素的互异性,从而使问题得以解决 .解 (1)若 2 A,则 =-1 A,11-2 A, =2 A.11-(-1)=12 11-12故集合 A 中一定还含有两个元素 -1, .12(2)若集合 A 是单元素集合,则 a= ,即 a2-a+1=0,但此方程无实数解 ,故 a .11- 11-又因为 a 与 都为集合 A 中的元素,11-所以集合 A 不是单元素集合 .
