1、13.1.4 概率的加法公式课时过关能力提升1 把红、黑、绿、白 4 张纸牌随机地发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得 1 张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.以上答案均不对解析 由题意只有 1 张红牌,甲、乙、丙、丁四人均可能得到,故两事件是互斥但不对立事件 .答案 C2 打靶三次,事件 Ai表示“击中 i 次”, i=0,1,2,3,则事件 A=A1 A2 A3表示( )A.全部未击中 B.至少有一次击中C.全部击中 D.至多有一次击中解析 事件 A0,A1,A2,A3彼此互斥, A2 A3=A,故 A 表示至少有一次击中
2、.且 0=1答案 B3 在第 3,6,16 路公共汽车的同一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在 5 min 之内乘上公共汽车赶到厂里 .他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里,已知 3 路车、6 路车在5 min 之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60,则该乘客在 5 min 内能乘上所需车的概率为( )A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12解析 乘客上 3 路车和上 6 路车这两个事件是彼此互斥的,所求的概率为 0.20+0.60=0.80.答案 C4 若事件 A 与 B 是互斥事件,且事件 A B 的概率是 0.8,事件 A 的概率是事件
3、 B 的概率的 3 倍,则事件 A 的概率为( )A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8解析 由已知得 P(A)+P(B)=0.8,又 P(A)=3P(B),于是 P(A)=0.6.答案 C5 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛 .甲、乙两队夺取冠军的概率分别是 37和 14,则该 市球 队夺 得全省足球冠 军 的概率 为 ( )A. 328.12.1728.1928解析 设事件 A,B 分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则 P(A) A,B 互斥 .该市球队夺得=37,()=14,且冠军即事件 A B 发生 .于是 P(A B)=P(A)+P(B)=37+14=1928.答案 D
4、6 某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品 .若生产中出现乙级品的概率为 0.03,丙级品的概率为 0.01,则对产品抽查一件,抽得正品的概率为 . 2解析 由题意抽得正品的概率为 1-0.03-0.01=0.96.答案 0.967 若 A,B 是互斥事件 ,P(A)=0.4,P(A B)=0.7,则 P(B)= . 解析 A,B 是互斥事件, P(A B)=P(A)+P(B), P(B)=0.7-0.4=0.3.答案 0.38 不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球 .从中摸出一个球,摸出黑球的概率为 0.42,摸出黄球的概率为 0.18,则摸出白球的概率为 ,摸出的球
5、不是黄球的概率为 ,摸出黄球或者黑球的概率为 . 解析 摸出白球的概率为 1-0.42-0.18=0.4;不是黄球的概率为 1-0.18=0.82;摸出的球是黄球或黑球的概率为 1-0.4=0.6.答案 0.4 0.82 0.69 猎人在 100 m 处射击一野兔,击中的概率为 12,如果第一次没有 击 中 ,那么 猎 人 进 行第二次射 击 ,但距离已是 150 ,如果又没有 击 中 ,那么 猎 人 进 行第三次射 击 ,但距离已是 200 .已知此 猎 人 击 中的概率与距离的平方成反比 ,那么三次内 击 中野兔的概率 为 . 解析 设距离为 d,命中的概率为 P,则有 P d=100,P
6、 k=5 000,故 P=2,将 =12代入上式可得 =5 0002 ,设第一、二、三次射击击中野兔分别为事件 A,B,C,则有 P(A) P(A B C)=P(A)=12,()=5 0001502=29,()=5 0002002=18,故三次内 击 中野兔的概率等于+P(B)+P(C)=12+29+18=6172.答案 617210(1)抛掷一枚骰子 ,观察出现的点数,设事件 A 为“出现 1 点”, B 为“出现 2 点” .已知 P(A)=P(B)=16,求出 现 1点或 2点的概率 .(2)盒子里装有 6 个红球,4 个白球,从中任取 3 个球 .设事件 A 表示“3 个球中有 1 个
7、红球,2 个白球”,B 表示“3 个球中有 2 个红球,1 个白球” .已知 P(A)=310,()=12,求 这 3个球中既有 红 球又有白球的概率 .分析 (1)抛掷骰子,事件“出现 1 点”和“出现 2 点”是彼此互斥的,可运用概率的加法公式求解 .(2)本题是求 A B 的概率,而 A 与 B 是互斥事件,故 P(A B)=P(A)+P(B).3解 (1)设事件 C 为“出现 1 点或 2 点” .事件 A,B 是互斥事件,由 C=A B 可得 P(C)=P(A)+P(B)1 点或 2 点的概率=16+16=13,出 现 是 13.(2)P(A B)=P(A)+P(B)=310+12=
8、0.8.11 一个不透明的盒中装有红、黑、白、绿 4 种颜色的球(除颜色外其他均相同),共 12 个球 .从中任取一球,得到红球、黑球、白球和绿球的概率分别为 512,13,16, 112.求 :(1)取出的球是红球或黑球的概率;(2)取出的球是红球或黑球或白球的概率 .分析 取出的球是红球、黑球、白球为互斥事件,可直接考虑,用概率的加法公式;也可以间接考虑,利用对立事件的概率公式 .解 (方法一)利用互斥事件的概率加法公式求概率 .记事件 A1:从 12 个球中任取 1 球得红球;A2:从 12 个球中任取 1 球得黑球;A3:从 12 个球中任取 1 球得白球;A4:从 12 个球中任取
9、1 球得绿球,则 P(A1)=512,(2)=13,(3)=16,(4)=112.(1)根据题意, A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率加法公式得取出红球或黑球的概率为P(A1 A2)=P(A1)+P(A2)=512+13=34.(2)由互斥事件的概率加法公式得取出红或黑或白球的概率为P(A1 A2 A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=512+13+16=1112.(方法二)利用对立事件的概率公式求概率 .(1)取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球,即 A1 A2的对立事件为 A3 A4,则取出红球或黑球的概率为 P(A1 A2)=1-P(A3 A4)=1-P(A3)-
10、P(A4)=116112=912=34.(2)A1 A2 A3的对立事件为 A4.P(A1 A2 A3)=1-P(A4)=1 .112=1112即 为 所求 12 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据,如下表所示 .一次购物量1 至 4件5 至8 件9 至12 件13至16件17件及以上顾客数 x 30 25 y 104(人)结算时间(分钟 /人)1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;(2)求一位顾客一次购物的结算
11、时间不超过 2 分钟的概率 .(将频率视为概率)解 (1)由已知得 x+30=45,25+y+10=55,则 x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值 ).为 115+1.530+225+2.520+310100 =1.9(分 钟(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟” .将频率视为概率得 P(A1)=15100=320,(2)=30100=310,(3)=25100=14.因为 A=A1 A2 A3,且 A1,A2,A3是互斥事件,所以 P(A)=P(A1 A2 A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)2 分钟的概率=320+310+14=710.故一位 顾 客一次 购 物的 结 算 时间 不超 过 为 710.
