1、13.3 随机数的含义与应用课时过关能力提升1 下列关于几何概型的说法错误的是( )A.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性B.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析 几何概型与古典概型是两种不同的概率模型,无包含关系 .答案 A2 取一根长为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1 m 的概率是( )A.12.13.14.不确定解析 如图所示,记剪得两段绳长都不小于 1 m 为事件 A.把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件 A 发生 .由于
2、中间一段的长度等于绳长 A 发生的概率 P(A)的 13,则 事件 =13.答案 B3 一只蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个表面的距离都大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18. 116. 127.2764解析 依题意,当蜜蜂在正方体内的棱长为 2 的小正方体内飞行时,可以安全飞行,因此所求概率为 2343=18.答案 A4 已知某运动员每次投篮命中的概率都等于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6
3、,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果 .经随机模拟产生了 20 组随机数:907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 357 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.152解析 三次投篮恰有两次命中时,对应的三个随机数有 191,271,932,812,393,共 5 组,因此所求概率P=520=0.25.答案 B5 如图所示,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒
4、一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 23,则 阴影区域的面 积约为 ( )A.43.83.23.无法 计 算解析 利用几何概型的概率计算公式知 阴正 =23,故 S阴 =23正 =83.来源:学科网ZXXK答案 B6 在区间 0,1内任取两个数,则这两个数的平方和在区间0,1内的概率是( )A.4.10.20.40解析设在0,1中任取出的数为 a,b,若 a2+b2也在0,1中,则有 0 a2+b21(如图所示),试验的全部结果所构成的区域为边长为 1 的正方形,满足 a2+b2在0,1内的点 (阴影部分),故所求概在 14单 位 圆 内率 P=141=4.答案 A7 在面积为 S 的 ABC
5、 内部任取一点 P,则 PBC 的面积大于 4的概率 为 . 解析3如图所示,在 ABC 中,在 AB 上取点 D,使 BD D 点作 l BC 交 AC 于点 E.=4,过P 为 ABC 内任一点,则使 S PBC P 落在 ADE 中,=34,且 4的点所求的概率为 =22=916.答 案 916来源:学#科#网Z#X#X#K8在圆心角为 90的扇形中,以圆心 O 为起点作射线 OC,使得 AOC 和 BOC 都不小于 30的概率为 .解析 作 AOE= BOD=30,如图所示,射线 OC 可能落在 AOB 内任意一条射线上,而要使 AOC 和 BOC 都不小于 30,则 OC 落在 DO
6、E 内,故所求的概率为 3090=13.答案 139如图,射箭比赛的箭靶涂有 5 个彩色的圆环,从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色,金色靶心叫“黄心” .若某比赛中靶面直径为 122 cm,黄心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭,假设每箭都射中靶,且射中靶面任何一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少?4解 记“射中黄心”为事件 B,由于中靶点随机落在面积 cm2的大圆内,而当中靶点落在为 141222 面积 cm2的黄心内时 ,事件 B 发生,则事件 B 发生的概率 P(B)为 1412.22 =1412.22141222=0.01.故射中黄心的概率是 0.0
7、1.10利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(曲线 y=2x与 x 轴、 x=1 围成的部分)的面积 .分析 在坐标系中画出正方形,用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值 .解 步骤:(1)利用计算机产生两组0,1内的均匀随机数 a1=rand(),b1=rand().(2)进行平移和伸缩变换, a=(a1-0.5) 2,b=b1 2,得到一组 -1,1内的均匀随机数和一组0,2内的均匀随机数 .(3)统计试验总数 N 和落在阴影内的点数 N1(满足条件 b2a的点( a,b)的个数) .(4)计算频 .率 1,即 为 点落在阴影部分的概率的近似 值(5
8、)设所求的阴影部分面积为 S,则用几何概型概率公式求得点落在阴影部分的概率为 4,S N=4,故 14,即 41.因 为所以阴影部分面积的近似值为 N1. 11 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30 至 7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00 至 8:00 之间,则你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少?分析 如图所示,送报人到达的时间是 6:30 至 7:30 之间的任一时刻,父亲离开家去工作的时间是7:00 至 8:00 之间的任一时刻,如果在平面直角坐标系内以 x 轴表示报纸送到的时间, y 轴表示父亲离开家的时间,因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的,所以随机试验的所有结果(x,y)是正方形内的任意一点(等可能) .事件 A(父亲能拿到报纸)发生的条件是 x y,即对应正方形内阴影部分,事件 A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关,这符合几何概型的条件 .5解 设事件 A“父亲离开家前能得到报纸” .在平面直角坐标系内,以 x 和 y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间,则父亲能得到报纸的条件是 x y.设( x,y)的所有可能结果是边长为 1 的正方形,能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示,这是一个几何概型问题, A=12121212=78,=1,故 P(A)
