1、12.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)课时过关能力提升1 下列函数是奇函数的是( )A.y= B.y=-3x2(-1)-1C.y=-|x| D.y= x3-x解析 先判断函数的定义域是否关于原点对称,再确定 f(-x)与 f(x)的关系 .选项 A 中函数的定义域为( - ,1)(1, + ),不关于原点对称,所以排除 A;选项 B,C 中函数的定义域均是 R,且函数均是偶函数;选项 D 中函数的定义域是 R,且 f(-x)=-f(x),则此函数是奇函数 .答案 D2 设函数 f(x)= +1,则 f(x)( )+1+1-A.是奇函数B.是偶函数C.是非奇非偶函数
2、D.既是奇函数又是偶函数解析 由 得 -1 x1,+10,1-0,即函数定义域为 -1,1,关于原点对称 .又因为 f(-x)= +1=f(x),-+1+1+所以 f(x)是偶函数 .答案 B3 若函数 f(x)= 是定义域为 R 的奇函数,则实数 b 的值为( )6-4+1A.1 B.-1C.0 D.1 或 -1解析 由已知得 f(0)=0,即 =0,故 b=0,且此时 f(x)= ,f(-x)= =-60-04+1 64+1 6(-)(-)4+1=-f(x),64+1即 f(x)是奇函数 .答案 C4 已知偶函数 y=f(x)在区间( - ,0上是增函数,则下列不等式一定成立的是( )A.
3、f(3)f(-2)B.f(-) f(3)C.f(1)f(a2+2a+3)D.f(a2+2)f(a2+1)2解析 因为 y=f(x)在区间( - ,0上是增函数,且 f(x)为偶函数,所以 y=f(x)在区间0, + )内是减函数 .因为 a2+2a+3=(a+1)2+21,所以 f(a2+2a+3)0 的解集为( )A.x|x4 B.x|x4C.x|x6 D.x|x2解析 当 x0 时,令 f(x)=2x-40,得 x2.又因为函数 f(x)为偶函数,所以函数 f(x)0 的解集为 x|x2.故 f(x-2)0 的解集为 x|x4.答案 B7 若函数 f(x)(xR)为奇函数, f(1)=,f
4、x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于 ( )A.0 B.1 C. D.5解析 在 f(x+2)=f(x)+f(2)中,令 x=-1 得 f(1)=f(-1)+ f(2).因为 f(1)=,f(x)是奇函数,所以 f(-1)=- ,f(2)=1,12所以 f(x+2)=f(x)+1,故 f(5)=f(3)+1=f(1)+1+1= +2= .12 52答案 C8 设函数 f(x)= 为奇函数,则实数 a= . (+1)(+)解析 因为 f(x)是奇函数,所以 f(-1)= =0=-f(1)=- =-2(1+a).(-1+1)(-1+)-1 (1+1)(1+)1所以 a=-1.当 a=-
5、1 时, f(x)= =x- (x0), f(x)为奇函数,故 a=-1.(+1)(-1) 1答案 -19 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时, f(x)=x2+4x+m,则当 x0,故 f(-x)=(-x)2+4(-x)=x2-4x.又因为 f(-x)=-f(x),所以当 x0,求实数 a的取值范围 .解 f (1-a)+f(1-2a)0,f (1-a)-f(1-2a).f (x)是奇函数, -f (1-2a)=f(2a-1),即 f(1-a)f(2a-1).又 f(x)在( -1,1)内是减函数, 1-23,00 时,函数的解析式为 f(x)= -1.(1)求 f(-1)
6、的值;(2)求当 x0,故 f(-x)= -1.2-因为 f(x)为偶函数,所以当 x0, y=f(x2)-f(x1)= -1- .22 (21-1)=2221=2(1-2)124因为 x1-x20, 所以 y0.故 f(x)= -1 在 (0,+ )内是减函数 .2 13(1)已知函数 f(x),xR,若对于任意实数 a,b,都有 f(a+b)=f(a)+f(b),求证: f(x)为奇函数;(2)已知函数 f(x),xR,若对于任意实数 x1,x2,都有 f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)f(x2),求证: f(x)是偶函数;(3)设函数 f(x)定义在( -l,l)内,求证:
7、 f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数 .证明 (1)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称 .设 a=0,则 f(b)=f(0)+f(b),故 f(0)=0.设 a=-x,b=x,则 f(0)=f(-x)+f(x),即 f(-x)=-f(x).因此, f(x)是奇函数 .(2)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称 .设 x1=0,x2=x,得 f(x)+f(-x)=2f(0)f(x). 设 x1=x,x2=0,得 f(x)+f(x)=2f(0)f(x). 由 ,得 f(-x)=f(x).故 f(x)是偶函数 .(3)由于对任意的 x( -l,l),也必有 -x( -l,l),可见, f(-x)的定义域也是( -l,l).若设 F (x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则 F(x)与 G(x)的定义域也是( -l,l),显然是关于原点对称的区间 .F (-x)=f(-x)+f-(-x)=f(x)+f(-x)=F(x),G(-x)=f(-x)-f-(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-G(x),F (x)是偶函数, G(x)是奇函数,即 f(x)+f(-x)是偶函数, f(x)-f(-x)是奇函数 .
