1、12.1.4 数乘向量课时过关能力提升1.设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是 ( )A.a 与 - a 的方向相反 B.|- a| |a|C.a 与 2a 的方向相同 D.|- a|=| a解析: 由于 0,所以 20,因此 a 与 2a 方向相同 .答案: C2.若 = ,则实数 的值是( )=13,A. B.- C. D.-34解析: 如图所示,由于 ,=13所以 ,=14即 =4 =- ,即 =- .43 43答案: D3.已知 O 是 ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边的中点,且 2 =0,则( )+A. B. =2= C. =3 D.2 =解析: 由 2 =0
2、,可知 O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点,故 .+ =答案: A4.如图,在梯形 ABCD 中, AD BC, =a, =b, =c, =d,且 E,F 分别为 AB,CD 的中点,则( )2A. (a+b+c+d)=12B. (a-b+c-d)=12C. (c+d-a-b)=12D. (a+b-c-d)=12解析: 如图,连接 OF,OE,则 )- )= (c+d)- (a+b).故=12(+12(+(c+d-a-b).=12答案: C5.在四边形 ABCD 中,若 ,且 | |=| |,则这个四边形是( )=12 A.平行四边形 B.矩形C.等腰梯形 D.菱形解析: 由 知 DC
3、AB,且 |DC|= |AB|,因此四边形 ABCD 是梯形 .又因为 | |=| |,所以四=12 12 边形 ABCD 是等腰梯形 .答案: C6.已知四边形 ABCD 为菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A,C),则 等于( )A. ( ), (0,1)+B. ( ), + (0, 22)C. ( ), (0,1)D. ( ), (0, 22)来源:学 +科 +网Z +X+X+K解析: 由已知得 ,而点 P 在 AC 上,必有 | | |,因此 = ( ),且+= + (0,1) .3答案: A7.已知 ABC 和点 M 满足 =0.若存在实数 m 使得 =m 成立,则 m
4、等于( )+ +A.2 B.3 C.4 D.5解析: 如图,在 ABC 中,设 D 是 BC 边的中点,由 =0,易知 M 是 ABC 的重心,+ =2 .+又 ,=32 =2 =3 ,m= 3.故选 B.+答案: B8.已知 O 为 ABCD 的中心, =4e1, =6e2,则 3e2-2e1= . 答案: (答案不唯一)或 9.如图,已知 ,若用 表示 ,则 = . =43 , 答案: -13+43来源:Z +xx+k.Com10.给出下面四个结论: 对于实数 p 和向量 a,b,有 p(a-b)=pa-pb; 对于实数 p,q 和向量 a,有( p-q)a=pa-qa; 若 pa=pb(
5、pR),则 a=b; 若 pa=qa(p,qR,a0),则 p=q.其中正确结论的序号为 . 解析: 正确; 当 p=0 时不正确; 可化为( p-q)a=0, a0, p-q= 0,即 p=q, 正确 .答案: 411.如图, L,M,N 是 ABC 三边的中点, O 是 ABC 所在平面内的任意一点,求证:.+=+证明 +=+=( )+( )+=( )+ )+12(+=( )+0+= .+故原式成立 .12.已知在 ABC 中, =a, =b.对于 ABC 所在平面内的任意一点 O,动点 P 满足 + a+ b, 0, + ).试问动点 P 的轨迹是否过某一个定点?并说明理由 .=解: 是 .理由:如图,以 为邻边作 ABDC,设对角线 AD,BC 交于点 E,则 (a+b).,=12=12由 + a+ b,得=2 (a+b)=12=2 , 0, + ).故 共线 .与 由 0, + )可知动点 P 的轨迹是射线 AE,5故动点 P 的轨迹必过 ABC 的重心 .
