1、1第二章平面向量检测( A)(时间:90 分钟 满分:120 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中正确的是( )A.两个单位向量的数量积为 1B.若 ab=ac,且 a0,则 b=cC.=+D.若 bc,则(a+c)b=ab解析: 由于 bc,所以 bc=0,因此(a+c)b=ab+cb=ab,故 D 项正确 .答案: D2.设 e 是单位向量, =2e, =-2e,| |=2,则四边形 ABCD 一定是( ) A.梯形 B.菱形C.矩形 D.正方形解析: 由 =2e, =-2e 知 ,所以四边
2、形 ABCD 为平行四边形 . =又 | |=| |=| |=2,所以四边形 ABCD 为菱形 .答案: B3.已知 a=(-6,y),b=(-2,1),且 a 与 b 共线,则 y 等于 ( )A.-6 B.6C.3 D.-3解析: 由于 ab,所以 -61=-2y,y=3.答案: C4.已知 |a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 90,且 c=2a+3b,d=ka-4b,若 cd,则实数 k 的值为 ( )A.6 B.-6C.3 D.-3解析: 因为 cd,所以 cd=0,即(2a+3b)( ka-4b)=2k-12=0,解得 k=6.答案: A25.已知 |a|=1,|b|= ,且
3、a(a-b),则向量 a 与向量 b 的夹角是( )2A.30 B.45 C.90 D.135解析: 因为 a(a-b),所以 a(a-b)=0,即|a| 2-ab=0,于是 1-1 cos=0,cos= ,222故 =45.答案: B6.已知一物体在共点力 F1=(lg 5,lg 2),F2=(lg 2,lg 2)的作用下产生位移 s=(2lg 5,1),则此物体在共点力的作用下所做的功为( )A.lg 2 B.lg 5C.2 D.3解析: 所做的功 W=(F1+F2)s=(lg 5+lg 2,2lg 2)(2lg 5,1)=(1,2lg 2)(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.
4、答案: C7.在 ABC 中,若( ) =| |2,则 ABC 的形状一定是( )+A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析: ( ) =( )( )=| |2-| |2,+ 于是 | |2-| |2=| |2, 所以 | |2=| |2+| |2, 故 ABC 是直角三角形 .答案: C8.在 ABC 中, M 是 BC 的中点, AM=1,若点 P 在 AM 上,且满足 =2 ,则 ( )等于( )+A.- B.-C. D.解析: 因为 AM=1, =2 ,所以 | |=. 于是 ( )= (2 )= =-| |2=- .+ 493答案: A9.在 ABC 中,
5、 AB 边的高为 CD,若 =a, =b,ab=0,|a|=1,|b|=2,则 等于( ) A. a-b B. a-bC. a-b D. a-b解析: 因为 ab=0,所以 ACB=90,于是 AB= ,CD= ,5255所以 BD= ,AD= ,即 ADBD= 4 1,55 455所以 )= a- b.=45=45(45 45答案: D10.定义: |ab|=|a|b |sin ,其中 为向量 a 与 b 的夹角 .若 |a|=2,|b|=5,ab=-6,则|ab|等于( )A.-8 B.8C.8 或 -8 D.6解析: 因为 ab=-6,所以 -6=25cos ,于是 cos =- ,从而
6、 sin = ,35 45故 |ab |=|a|b|sin = 25 =8.45答案: B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 .把答案填在题中的横线上)11.已知单位向量 e1,e2的夹角为 60,则 |2e1-e2|= . 解析: |2e1-e2|= .(21-2)2=4|1|2-412+|2|2=4-412+1=3答案: 312.已知 |a|=10,|b|=8,a 与 b 的夹角为 120,则向量 b 在向量 a 方向上的射影的数量等于 .解析: b 在 a 方向上的射影的数量为 =|b|cos=8cos 120=-4.|答案: -413.已知 a=(1,1),
7、b=(1,0),c 满足 ac=0,且|a|=|c|,bc0,则 c= . 4解析: 设 c=(x,y).由 ac=0,得 x+y=0. 由 |a|=|c|,得 x2+y2=2. 由 ,得 =1,=-1或 =-1,=1. bc0,x 0, c=(1,-1).答案: (1,-1)14.在菱形 ABCD 中,若 AC=2,则 = . 解析: 设两对角线 AC 与 BD 交于点 O,则 AO=OC=1,于是 =2 ( )=2 -2| |2=0-2=-2.答案: -215.若 a=(sin ,cos - 2sin ),b=(1,2),且 |a|=|b|,则钝角 等于 . 解析: 因为 |a|=|b|,
8、所以 ,2+(-2)2=5即 sin2+ cos2+ 4sin2- 4sin cos = 5,于是 sin2- sin cos = 1,从而 -sin cos = cos2.因为 是钝角,所以 cos 0,于是 -sin = cos ,tan =- 1,故 = .34答案: 34来源:Zxxk.Com三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8 分)已知向量 a=(2,0),b=(1,4).(1)求 2a+3b,a-2b;(2)若向量 ka+b 与 a+2b 平行,求 k 的值 .解: (1) a=(2,0),b=(1,4), 2a+3b
9、=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-2b=(2,0)-2(1,4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8).(2)依题意得 ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8). 向量 ka+b 与 a+2b 平行, 8(2k+1)-44=0,解得 k= .12517.(8 分)已知向量 a=(sin -cos ,2cos +sin ),b=(1,2).(1)若 ab,求 tan 的值;(2)若 ab,求 的值 .解: (1)由 ab,得 2(sin -cos )=2cos +sin ,即 2sin -2cos
10、=2cos +sin ,所以 sin =4cos ,于是 tan = =4.(2)由 ab,得 sin -cos +2(2cos +sin )=0,即 3sin +3cos =0,即 sin +cos =0,从而 tan =- 1,故 =k + (kZ) .3418.(9 分)如图,已知 AC,BD 是梯形 ABCD 的对角线, E,F 分别是 BD,AC 的中点 .求证: EF BC.证明 设 =a, =b,则 =b-a.= , = = b( R, 0,且 1) . E 为 BD 的中点, (b-a).=12=12F 为 AC 的中点,=+=+12= )+12(= )= )= ( b-a),
11、12(+12(12 ( b-a)- (b-a)=12 12= b= .(12-12) 1(12-12)6EF BC.19.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数 t 满足( -t ) =0,求 t 的值 .解: (1)由题设知 =(3,5), =(-1,1),则 =(2,6), =(4,4).+ 所以 | |= =2 ,| |= =4 .+ 22+62 10 42+42 2故所求的两条对角线的长分别为 2 ,4 .10 2(2)由题设知 =(-2,-1),-
12、t =(3+2t,5+t).由( -t ) =0,得(3 +2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=- .11520.(10 分)如图, M 是矩形 ABCD 的边 CD 上的一点, AC 与 BM 交于点 N,BN=BM.(1)求证: M 是 CD 的中点;(2)若 AB=2,BC=1,H 是 BM 上异于点 B 的一动点,求 的最小值 .(1)证明 设 =m =n ,由题意知 )= +m )= .=23=23(+23(23+23又 +n +n( )=(1-n) +n ,=+=+ 723=1-,23=,解得 =12,=13. =m ,即 M 是 CD 的中点 .=12(2)解: 以 B 为原点, AB 所在直线为 x 轴, BC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则由题意可设点H(-x,x),且 0x1, A(-2,0),B(0,0).=(2-x,x), =(x,-x), =(2-x)x-x2=2x-2x2=-2 .(-12)2+12又 0x1, 当 x=1,即 H 与 M 重合时, 取得最小值,且最小值为 0.
