1、12.2.4 点到直线的距离1点 (3,1)到直线 y=2x的距离为( )A.5 B. C. D.555解析： 直线方程化为 2x-y=0,故所求距离 d= .|23-1|22+(-1)2=55=5答案： B2已知点 (a,2)(a0)到直线 l:x-y+3=0的距离为 1,则 a的值是( )A. B.2- C. -1 D. +12 2 2 2解析： 由点到直线的距离公式,得 =1,|-2+3|2因为 |a+1|= ,所以 a= -1.2 2又因为 a0,所以 a= -1.2答案： C3已知直线 3x+2y-3=0和 6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是( )A.4 B. C. D
2、.21313 51326 71326解析： 因为两直线平行,所以 3m=12,即 m=4,6x+my+1=0可化为 3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公式得 d= .|12+3|32+22=71326答案： D4已知点 P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线 x-y=0的距离是( )A. (a-b) B.b-a C. (b-a) D.22 22 2+2解析： 因为 P(a,b)是第二象限的点,所以 a0.所以 a-b0.所以点 P到直线 x-y=0的距离 d= (b-a).|-|2 =22答案： C5若 P,Q分别为 3x+4y-12=0与 3x+4y+3=0上任一点,则 |PQ|的最小
3、值为( )A. B. C.3 D.6185解析： |PQ|的最小值即两条平行线间的距离,2则根据两条平行线间的距离公式得 |PQ|= =3.|3+12|32+42答案： C6已知 x,y满足 3x+4y-10=0,则 x2+y2的最小值为 ( )A.2 B.4 C.0 D.1解析： 因为 x2+y2视为原点到直线上的点 P(x,y)的距离的平方,所以 x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方 .因为 d= =2,所以 x2+y2的最小值为 4.|-10|32+42答案： B7过点 M(1,5)和点 N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于 5,则满足条件的直
4、线共有( )A.0组 B.1组 C.2组 D.3组解析： 因为 |MN|= =5,所以满足条件的直线有且仅有 1组,它们与线段(-2-1)2+(9-5)2MN所在的直线垂直 .答案： B8已知定点 A(0,1),点 B在直线 x+y=0上运动,当线段 AB最短时,点 B的坐标是 . 解析： 可设 B(x,-x),所以 d(A,B)= ,2+(-1)2=22+2+1又 d(A,B)min= ,|0+1|2 =22这时 x=- ,点 B的坐标为 .12 ( -12,12)答案： (-12,12)9已知点 M(1,4)到直线 l:mx+y-1=0的距离为 3,则实数 m= . 解析： 由已知可得 =
5、3,即 |m+3|=3 ,解得 m=0或 m=.|+4-1|2+1 2+1答案： 0或10与直线 l:5x-12y+6=0平行且到 l的距离为 2的直线 m的方程为 . 解析： 设所求直线为 5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得 2= ,解得 c=32|-6|52+(-12)2或 c=-20.故所求直线的方程为 5x-12y+32=0或 5x-12y-20=0.答案： 5x-12y+32=0或 5x-12y-20=011已知直线 l过直线 y=-x+1和 y=2x+4的交点,3(1)若直线 l与直线 x-3y+2=0垂直,求直线 l的方程;(2)若原点 O到直线 l的距离为 1,
6、求直线 l的方程 .解 (1)由 得交点 (-1,2),=-+1,=2+4因为直线 x-3y+2=0的斜率是 ,直线 l与直线 x-3y+2=0垂直 ,所以直线 l的斜率为 -3,13所以所求直线 l的方程为 y-2=-3(x+1),即 3x+y+1=0.(2)如果 l x轴,则 l的方程为 x=-1符合要求 .如果 l不垂直于 x轴,设 l的方程为 y-2=k(x+1),即 kx-y+2+k=0,原点 O到直线 l的距离 =1,|2+|1+2解之,得 k=- ,此时 l:y-2=- (x+1).34 34综上,直线 l的方程为 3x+4y-5=0或 x=-1.12两条互相平行的直线分别过 A
7、(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着 A,B点旋转(但始终保持平行关系) .如果两条平行线间的距离为 d.(1)求 d的变化范围;(2)求当 d取得最大值时两条直线的方程 .解 (1)根据题意可知,当两平行线均与线段 AB垂直时,距离 d=|AB|=3 最大;当两平行线重合,即10都过 A,B点时,距离 d=0最小 .但平行线不能重合,所以 0d3 .10(2)当 d=3 时,所求的两条直线的斜率相同 ,且 k=-3,所以两条直线的方程分别为 3x+y-20=010和 3x+y+10=0. 13 已知点 P(2,-1),求:(1)过点 P且与原点 O距离为 2的直线 l的方程;(2)
8、过点 P且与原点 O距离最大的直线 l的方程,并求此最大距离 .解 (1)点 P的坐标为(2, -1),由题意知可分两种情况: 若直线 l的斜率不存在,则其方程为 x=2,原点到直线 x=2的距离为 2,满足题意; 若直线 l的斜率存在,设为 k,则 l的方程为 y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0.由已知,得 =2,解得 k= .|-2-1|2+1 34此时 l的方程为 3x-4y-10=0.4综上,可得直线 l的方程为 x=2或 3x-4y-10=0.(2)过点 P且与原点 O距离最大的直线是过点 P且与 PO垂直的直线,故设直线 l、直线 OP的斜率分别为 kl,kOP.由题
9、意知 kOP=- ,由 l OP,得 klkOP=-1,即 kl=- =2.12 1由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0.即直线 l:2x-y-5=0是过点 P且与原点 O距离最大的直线,且最大距离为 .|-5|5 =5 14 已知在 ABC中, A(1,1),B(m, )(1m4),C(4,2),则当 m为何值时, ABC的面积 S最大?解 A (1,1),C(4,2),|AC|= .(4-1)2+(2-1)2=10又直线 AC的方程为 x-3y+2=0,根据点到直线的距离公式可得点 B(m, )到直线 AC的距离 d= ,|-3+2|10S= |AC|d= |m-3 +2|12 12 = .12|(-32)2-14| 1m4, 1 2- .123212 0 ,(-32)214S= .1214-(-32)2 当 =0,即 m= 时, S最大 .32 94故当 m= 时, ABC的面积 S最大 .94
