1、1第 2 节 排列与组合最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1.排列与组合的概念名称 定义排列 按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出m(m n)个不同元素 合成一组2.排列数与组合数(1)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数.(2)从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)( n2)( n m1) .mn
2、n！（ n m） ！(2)C mnn（ n 1） （ n 2） （ n m 1）m！ (n， mN +，且 m n).特别地 C 1n！m！ （ n m） ！ 0n性质(1)0！1；A n！. n(2)C C ；C C Cmn n mn mn 1 mn m 1n常用结论与微点提醒1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)2(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取
3、出的元素讲究元素的先后顺序.( )(3)若组合式 C C ，则 x m 成立.( )xn mn(4)kC nC .( )kn k 1n解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若 C C ，则 x m 或 n m，故(3)错.xn mn答案 (1) (2) (3) (4)2.从 4 本不同的课外读物中，买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，则不同的送法种数是( )A.12 B.24 C.64 D.81解析 4 本不同的课外读物选 3 本分给 3 位同学，每人一本，则不同的分配方法为 A 24.3
4、4答案 B3.(一题多解)(教材练习改编)从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )A.18 B.24 C.30 D.36解析 法一 选出的 3 人中有 2 名男同学 1 名女同学的方法有 C C 18 种，选出的 3 人中2413有 1 名男同学 2 名女同学的方法有 C C 12 种，故 3 名学生中男女生都有的选法有1423C C C C 30 种.2413 1423法二 从 7 名同学中任选 3 名的方法数，再除去所选 3 名同学全是男生或全是女生的方法数，即 C C C 30.37 34 3答案 C4.用数字 1，2，3，4，5 组成的
5、无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120解析 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，共有 A A 48 种.12 34 1234答案 C5.在一展览会上，要展出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相邻，则该次展出这 5 件作品不同的摆放方案共有_种(用数字作答).解析 将 2 件必须相邻的书法作品看作一个整体，同 1 件建筑设计展品全排列，再将 2 件不能相邻的绘画作品插空，故共有 A A A 24 种不同的展出方案.
6、2223答案 243考点一 排列问题【例 1】 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；(3)(一题多解)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.解 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A 765432 520(种).57(2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A 种方法，余下 4 人站后排，有 A 种方法，共有 A37 4A 5 040(种).37 4(3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有
7、A 种排列方法，共有 5A63 600(种).6法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A 种排法，其他有 A 种排26 5法，共有 A A 3 600(种).265(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 种方法，再将女生全排列，4有 A 种方法，共有 A A 576(种).4 4 4(5)(插空法)先排女生，有 A 种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位安排4男生，有 A 种方法，共有 A A 1 440(种).35 4 35规律方法 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法
8、，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【训练 1】 (1)(2018赤峰二模)7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )A.120 B.240 C.360 D.4804(2)(2018抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.30 B
9、.600 C.720 D.840解析 (1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有 3 种，第二步，前排 3 人形成了4 个空，任选一个空加一人，有 4 种，第三步，后排 4 人形成了 5 个空，任选一个空加一人有 5 种，此时形成 6 个空，任选一个空加一人，有 6 种，根据分步计数原理有3456360 种方法.(2)若只有甲、乙其中一人参加，有 C C A 480 种方法；若甲、乙两人都参加，有 C C A12354 225240 种方法，则共有 480240720 种方法.4答案 (1)C (2)C考点二 组合问题【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15
10、种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种有 C 561(种)，某一种假货必须在内的不同234取法有 561 种.(2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C 种或者 C C C 5 984(种).34 35 234 34某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.(3)从 20 种真货中选取
11、 1 件，从 15 种假货中选取 2 件有 C C 2 100(种).120215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.(4)选取 2 种假货有 C C 种，选取 3 种假货有 C 种，共有选取方式 C C C 2 120 215 315 120215 3151004552 555(种).至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种.(5)选取 3 种的总数为 C ，选取 3 种假货有 C 种，因此共有选取方式35 315C C 6 5454556 090(种).35 315至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.5规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：(
12、1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【训练 2】 (1)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参
13、与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有( )A.80 种 B.70 种 C.40 种 D.10 种(2)(2018咸阳二模)若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种解析 (1)Grace 不参与该项任务，则有 C C 30 种；Grace 参与该项任务，则有 C 101524 25种，故共有 301040 种，故选 C.(2)共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，共
14、有不同的取法有 C C C C 66(种).45 4 2524答案 (1)C (2)D考点三 排列与组合的综合应用(多维探究)命题角度 1 简单的排列与组合应用问题【例 31】 (1)(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种(2)从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A.24 B.18 C.12 D.6解析 (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得
15、安排方6式为 C C A 36(种).13242(2)从 0，2 中选一个数字 0，则 0 只能排在十位，从 1，3，5 中选两个数字排在个位与百位，共有 A 6 种；从 0，2 中选一个数字 2，则 2 排在十位(或百位)，从 1，3，5 中选两23个数字排在百位(或十位)、个位，共有 A A 12 种，故共有 A A A 18 种.12 23 23 1223答案 (1)D (2)B命题角度 2 分组、分配问题【例 32】 (1)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80 种 B.90 种 C.120 种 D.150
16、种(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法.解析 (1)有两类情况：其中一所学校 3 名教师，另两所学校各一名教师的分法有C A 60 种；其中一所学校 1 名教师，另两所学校各两名教师的分法有353C A 90 种，共有 150 种，故选 D.15 3(2)先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有 种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有A 6 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有 A 90 种分派方法.3 3答案 (
17、1)D (2)90规律方法 (1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.【训练 3】 (1)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有( )A
18、.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种(2)(2018合肥联考)若无重复数字的三位数满足条件：个位数字与十位数字之和为奇数，所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( )7A.540 B.480 C.360 D.200解析 (1)将 4 名学生均分为 2 个小组共有 3(种)分法；将 2 个小组的同学分给 2 名教师共有 A 2(种)分法，最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有 A 2(种)分法.故2 2不同的安排方案共有 32212(种).(2)由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字 1 奇 1 偶，有 C C A 50(种)排15152法；所有数位上的数字
19、和为偶数，则百位数字是奇数，有 C 4(种)满足题意的选法，故14满足题意的三位数共有 504200(个).答案 (1)A (2)D基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1.从 6 本不同的书中选出 4 本，分别发给 4 个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( )A.180 种 B.220 种C.240 种 D.260 种解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的 4 本中分一本，然后再选 3本分给 3 个同学，故有 A A 240 种.14 35答案 C2.(2016四川卷)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A.
20、24 B.48 C.60 D.72解析 由题意，可知个位可以从 1，3，5 中任选一个，有 A 种方法，其他数位上的数可以13从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列，有 A 种方法，所以奇数的个数为4A A 3432172.134答案 D3.从 1，3，5，7，9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为 a， b，共可得到 lg alg b 的不同值的个数是( )A.9 B.10 C.18 D.208解析 由于 lg alg blg (a0， b0)，ablg 有多少个不同的值，只需看 不同值的个数.ab ab从 1，3，5，7，9 中任取两个作为 有 A 种，又 与 相同， 与 相同，lg
21、 aab 25 13 39 31 93lg b 的不同值的个数有 A 218.25答案 C4.10 名同学合影，站成了前排 3 人，后排 7 人，现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C A B.C A C.C A D.C A275 272 2725 2735解析 首先从后排的 7 人中抽 2 人，有 C 种方法；再把 2 个人在 5 个位置中选 2 个位置进27行排列有 A 种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是 C A .25 2725答案 C5.(2018潍坊模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，
22、则满足要求的排法有( )A.34 种 B.48 种 C.96 种 D.144 种解析 特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有 C 种选法，乙、丙相邻，12捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C A A 96(种).12 4 2答案 C6.(2018东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排 8 个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法种数为( )A.10 B.16 C.20 D.24解析 一排共有 8 个座位，现有两人就坐，故有 6 个空座.要求每人左右均有空座，在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐，即有 A 20
23、 种坐法.25答案 C7.(一题多解)(2018石家庄模拟)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168解析 法一 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声” ， “小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品91，小品 2”.对于第一种情况，形式为“，小品 1，歌舞 1，小品 2，相声，” ，有 A C A 36(种)安排方法；同理，第三种情况也有 36 种安排方法，对于第二种情况，21323三个节目形成 4 个
24、人，其形式为“，小品 1，相声，小品 2，”.有 A A 48234种安排方法，故共有 363648120 种安排方法.法二 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有 A A 144(种)，3 34再剔除小品类节目相邻的情况，共有 A A A 24(种)，于是符合题意的排法共有3 2 214424120(种).答案 B8.(2018豫南九校联考)某医院拟派 2 名内科医生、3 名外科医生和 3 名护士共 8 人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有( )A.72 种 B.36 种 C.24 种 D.
25、18 种解析 2 名内科医生，每村一名，有 2 种方法；3 名外科医生和 3 名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有：则分 1 名外科医生、2 名护士和 2 名外科医生、1 名护士，若甲村有 1 名外科医生、2 名护士，则有 C C 9(种)，其余的分到乙村；1323若甲村有 2 名外科医生、1 名护士，则有 C C 9(种)，其余的分到乙村；2313则总的分配方案有 2(99)36(种).答案 B二、填空题9.(2018开封模拟)某班主任准备请 2016 届毕业生做报告，要从甲、乙等 8 人中选 4 人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不
26、同的发言顺序共有_种(用数字作答).解析 若甲、乙同时参加，有 C C C A A 120 种，若甲、乙有一人参与，有2261222C C A 960 种，从而总共的发言顺序有 1 080 种.12364答案 1 08010.现有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加区分，将这 9 个球排成一列，有_种不同的方法(用数字作答).解析 第一步，从 9 个位置中选出 2 个位置，分给相同的红球，有 C 种选法；第二步，从29剩余的 7 个位置中选出 3 个位置，分给相同的黄球，有 C 种选法；第三步，剩下的 4 个位37置全部分给 4 个白球，有 1 种选法.10根据分步乘法计数原理，排
27、列方法共有 C C 1 260(种).2937答案 1 26011.从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有_种(用数字作答).解析 特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外 4 个人中选择一人参加，有 C 种方案；然后从剩下的 5 个人中选择 3 个人参加剩下 3 科，有 A 种方案.故共14 35有 C A 460240(种)方案.1435答案 24012.(2018黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能连续出场，且女生
28、甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_(用数字作答).解析 若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C C A 36 种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的 2 个女生排列好，2 个男12133生插空，方法有 C A A 24 种.12223故所有出场顺序的排法种数为 362460.答案 60能力提升题组(建议用时：10 分钟)13.中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了 50 台完全相同的校车，准备发放给 10 所学校，每所学校至少 2 台，则不同的发放方案的种数为( )A.C B.C C.C D.C941 938 940
29、 93解析 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下 40 台；将剩下的 40 台排队一样排列好，则这 40 台校车之间有 39 个空.对这 39 个空进行隔开成 10 部分，比如用 9面小旗子隔开，就可以隔成 10 部分了，所以有 C 种分隔方法.93答案 D14.“灯塔党建在线” ，深入学习党的十九大精神竞赛活动中，某单位甲、乙等 5 名参赛选手，甲和乙必须相邻出场且都不在开头和末尾出场，这 5 名选手不同的出场顺序共有( )A.12 种 B.24 种 C.48 种 D.120 种解析 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有 A A 种排法，甲乙相邻且在首末42出场有 C
30、A A 种排法.123211故甲乙相邻且都不在首末出场的顺序有 A A C A A 24(种).42 1232答案 B15.(2018江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的 5 位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2 人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答).解析 从 5 人中任选 3 人有 C 种，将 3 人位置全部进行调整，有 C C C 种.35 12 1 1故有 NC C C C 20 种调整方案.35 12 1 1答案 2016.设集合 A( x1， x2， x3， x4， x5)|xi1，0，1， i1，2，3，4，5，那么集合 A中满足条件“1| x1| x2| x3| x4| x5|3”的元素有_个(用数字作答).解析 因为 xi1，0，1， i1，2，3，4，5，且1| x1| x2| x3| x4| x5|3，所以 xi中至少两个为 0，至多四个为 0. xi(i1，2，3，4，5)中 4 个 0，1 个为1 或 1， A 有 2C 10 个元素；15 xi中 3 个 0，2 个为1 或 1， A 有 C 2240 个元素；25 xi中 2 个 0，3 个为1 或 1， A 有 C 22280 个元素；35从而，集合 A 中共有 104080130 个元素.答案 130
