1、1(一)直线与圆锥曲线(1)1(2018烟台模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)，点 在椭圆上，过 C 的焦点且x2a2 y2b2 (3， 32)与长轴垂直的弦的长度为 .13(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 A(2,0)作两条相交直线 l1， l2， l1与椭圆交于 P， Q 两点(点 P 在点 Q 的上方)，l2与椭圆交于 M， N 两点(点 M 在点 N 的上方)，若直线 l1的斜率为 ， S MAP S NAQ，求17 2534直线 l2的斜率解 (1)由已知得Error!解得 a6， b1.故椭圆 C 的标准方程为 y21.x236(2)由题设可知：直线 l1的方程为 x7
2、y2.联立Error!整理得 85y228 y320.yP ， yQ .817 45 .|AQ|AP| |yQ|yP|45817 1710设 MAP QAN ， S MAP S NAQ，2534 |AM|AP|sin |AN|AQ|sin ，12 2534 12即 .|AM|AN| 2534 |AQ|AP| 2534 1710 54设直线 l2的方程为 x my2( m0)，将 x my2 代入 y21，x236得( m236) y24 my320.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，2则 y1 y2 ， y1y2 .4mm2 36 32m2 36又 y1 y2，54 y2 y2 ，
3、 y ，54 4mm2 36 542 32m2 36 y2 ， y ，16mm2 36 2 1285(m2 36) 2 ，(16mm2 36) 1285m2 36解得 m24， m2，此时式的判别式大于零故直线 l2的斜率为 .122(2018南昌模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的两焦点分别是 F1 ， F2x2a2 y2b2 ( 2， 0)，点 E 在椭圆 C 上(2， 0) (2，322)(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 y 轴上的一点，若椭圆 C 上存在两点 M， N，使得 2 ，求以 F1P 为直径的圆MP PN 面积的取值范围解 (1)由已知，得半焦距 c ，22a|
4、EF1| EF2| 4 ，8 92 322 2所以 a2 ，所以 b2 a2 c2826，2所以椭圆 C 的方程是 1.x28 y26(2)设点 P 的坐标为(0， t)，当直线 MN 斜率不存在时，可得 M， N 分别是短轴的两端点，得到 t .63当直线 MN 斜率存在时，设直线 MN 的方程为 y kx t， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得 x12 x2，MP PN 联立Error!得(34 k2)x28 ktx4 t2240，3由题意，得 64 k2t24(34 k2)(4t224)0，整理得 t212)焦点的距离为 .58(1)求抛物线 C 的方程；(2)若
5、P 是 C 上一动点，且 P 不在直线 l： y2 x9 y0上， l 交 C 于 E， F 两点，过 P 作直线垂直于 x 轴且交 l 于点 M，过 P 作 l 的垂线，垂足为 N.证明： | EF|.|AM|2|AN|(1)解 依题意得Error! ，18p p2 58 p ， p1，故抛物线 C 的方程为 x22 y.12(2)证明 由(1)知， y0 ，联立Error!18得 4x216 x90，解得 x1 ， x2 ，12 92| EF| 5 .1 22|92 ( 12)| 5设 P ，(m，m22)(m 12且 m 92)4则 M 的横坐标为 m，易知 A 在 l 上，则| AM|
6、 .5|m12|由题意可知直线 PN 的方程为 y (x m)，m22 12与 y2 x 联立可得 xN ，98 15(m2 m 94)所以| AN| 5|15(m2 m 94) 12| ，55|(m 12)2|则 5 ，故 | EF|.|AM|2|AN| 5 |AM|2|AN|4(2018甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)， A， B 是椭x2a2 y2b2圆与 x 轴的两个交点， M 为椭圆 C 的上顶点，设直线 MA 的斜率为 k1，直线 MB 的斜率为k2， k1k2 .23(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设直线 l 与 x 轴交于点 D( ，0)，交椭圆
7、于 P， Q 两点，且满足 3 ，当 OPQ 的3 DP QD 面积最大时，求椭圆 C 的方程解 (1) M(0， b)， A( a,0)， B(a,0)， k1 ， k2 ，ba bak1k2 ， e .ba ba b2a2 23 ca 33(2)由(1)知 e ，ca 33得 a23 c2， b22 c2，可设椭圆 C 的方程为 2x23 y26 c2，设直线 l 的方程为 x my ，3由Error!得(2 m23) y24 my66 c20，3因为直线 l 与椭圆 C 相交于 P(x1， y1)， Q(x2， y2)两点，所以 48 m24(2 m23)(66 c2)0，由根与系数的关
8、系得， y1 y2 ， y1y2 .43m2m2 3 6 6c22m2 3又 3 ，所以 y13 y2，DP QD 5代入上述两式得 66 c2 ，36m22m2 3所以 S OPQ |OD|y1 y2|12 32| 83m2m2 3| ，12|m|2|m|2 3 122|m| 3|m| 6当且仅当 m2 时，等号成立，此时 c2 ，32 52代入 ，此时 0 成立，所以椭圆 C 的方程为 1.2x215 y255(2018天津市部分区模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，椭圆的一个x2a2 y2b2 22顶点与两个焦点构成的三角形面积为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知直
9、线 y k(x1)( k0)与椭圆 C 交于 A， B 两点，且与 x 轴， y 轴交于 M， N 两点()若 ，求 k 的值；MB AN ()若点 Q 的坐标为 ，求证： 为定值(74， 0) QA QB (1)解 因为 1( ab0)满足 a2 b2 c2，x2a2 y2b2又离心率为 ，所以 ，22 ca 22即 a22 c2，代入 a2 b2 c2，得 b2 c2.又椭圆 C 的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为 2，即 b2c2，即 bc2， b2c24，12以上各式联立解得 a24， b22，则椭圆 C 的方程为 1.x24 y22(2)()解 直线 y k(x1)与 x 轴交点
10、为 M(1,0)，与 y 轴交点为 N(0， k)，联立Error! 消去 y 得，(12 k2)x24 k2x2 k240， 16 k44(12 k2)(2k24)24 k2160，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，6则 x1 x2 ，4k21 2k2又 ( x21， y2)， ( x1， k y1)，MB AN 由 ，得 x1 x2 1，MB AN 4k21 2k2解得 k ，由 k0，得 k .22 22()证明 由()知 x1 x2 ， x1x2 ，4k21 2k2 2k2 41 2k2所以 QA QB (x1 74， y1) (x2 74， y2) y1y2(x174)(x2 74) k2(x11)( x21)，(x174)(x2 74)(1 k2) k2 ，2k2 41 2k2 ( 74 k2) 4k21 2k2 4916 ，2k2 4 2k4 4k2 7k2 4k4 k2 2k41 2k2 4916 4 ，为定值， 8k2 41 2k2 4916 4916 1516所以 为定值QA QB
