1、1第一部分 专题三 第二讲 三角恒等变换与解三角形A 组1若 2sin( )3sin( )，则 tan 等于( B ) 3A B 33 32C D2233 3解析 由已知得 sin cos 3sin ，即 2sin cos ，所以3 3tan ，故选 B322(文)如果 sin ，那么 sin( ) cos 等于( A )45 4 22A B225 225C D425 425解析 sin( ) cos 4 22sin cos cos sin cos . 4 4 22 45 22 225(理)已知 R，sin 2cos ，则 tan2 ( C )102A B 43 34C D34 43解析 本题
2、考查三角函数同角间的基本关系将 sin 2cos 两边平方可得，102sin2 4sin cos 4cos 2 ，524sin cos 3cos 2 ， .32 4sin cos 3cos2sin2 cos2 32将左边分子分母同除以 cos2 得， ，解得 tan 3 或 tan ，3 4tan1 tan2 32 132tan2 .2tan1 tan2 343若三角形 ABC 中，sin( A B)sin(A B)sin 2C，则此三角形的形状是( B )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析 sin( A B)sin(A B)sin 2C，sin( A B)sin C
3、0，sin( A B)sin( A B)，cos AsinB0，sin B0，cos A0， A 为直角4钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB1， BC ，则 AC( B )12 2A5 B 5C2 D1解析 本题考查余弦定理及三角形的面积公式 S ABC acsinB 1sinB ，12 12 2 12sin B ， B 或 .22 4 34当 B 时， 4经计算 ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去 B ，根据余弦定理，34b2 a2 c22 accosB，解得 b ，故选 B55设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 a2， c2 ，cos A ，且
4、332b (否则，若 ，则有 0C”)解析 设 BAD ， CAD ，因为 BAD C90，所以 90 C， 90 B，因为 D 为 BC 的中点，所以 S ABD S ACD，所以 cADsin bADsin ，12 12所以 csin bsin ，所以 ccosC bcosB，由正弦定理得，sin CcosCsin BcosB，即 sin2Csin2 B，所以 2B2 C 或 2B2 C，因为 ABC 为锐角三角形，所以 B C9为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 ACB60， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了稳定广告牌，要求 AC 越短越好
5、，则AC 最短为 2 .3解析 由题意设 BC x(x1)米，AC t(t0)米，依题设 AB AC0.54( t0.5)米，在 ABC 中，由余弦定理得：AB2 AC2 BC22 ACBCcos60，即( t0.5) 2 t2 x2 tx，化简并整理得：t (x1)，x2 0.25x 1即 t x1 2，0.75x 1因为 x1，故 t x1 22 ，0.75x 1 3当且仅当 x1 时取等号，此时取最小值 2 .32 310(2018全国卷，17)在平面四边形 ABCD 中， ADC90， A45，AB2， BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 ，求 BC2解析 (1)在 A
6、BD 中，由正弦定理得 .BDsinA ABsin ADB由题设知， ，5sin45 2sin ADB所以 sin ADB .25由题意知， ADB90，所以 cos ADB .1 225 235(2)由题意及(1)知，cos BDCsin ADB .25在 BCD 中，由余弦定理得BC2 BD2 DC22 BDDCcos BDC258252 25.225所以 BC5.11(文)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知asinA4 bsinB， ac (a2 b2 c2)5(1)求 cosA 的值；(2)求 sin(2B A)的值解析 (1)由 asinA4
7、bsinB 及 ，asinA bsinB5得 a2 b.由 ac (a2 b2 c2)及余弦定理，5得 cosA .b2 c2 a22bc 55acac 55(2)由(1)，可得 sinA ，代入 asinA4 bsinB 中，255得 sinB .asinA4b 55由(1)知， A 为钝角，所以 cosB .1 sin2B255于是 sin2B2sin BcosB ，45cos2B12sin 2B ，35故 sin(2B A)sin2 BcosAcos2 BsinA ( ) .45 55 35 255 255(理)在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知a
8、b， a5， c6，sin B .35(1)求 b 和 sinA 的值；(2)求 sin(2A )的值 4解析 (1)在 ABC 中，因为 ab，所以由 sinB ，得 cosB .35 45由已知及余弦定理，得 b2 a2 c22 accosB13，所以 b .13由正弦定理 ，asinA bsinB得 sinA a .sinBb 31313所以 b 的值为 ，sin A 的值为 .1331313(2)由(1)及 ac，得 cosA ，21313所以 sin2A2sin AcosA ，12136cos2A12sin 2A .513所以 sin(2A )sin2 Acos cos2 Asin
9、. 4 4 4 7226B 组1(2018福州三模)已知 a， b， c 分别是 ABC 的内角 A， B， C 所对的边，点 M 为ABC 的重心若 a b c 0，则 C( D )MA MB 33 MC A B 4 2C D56 23解析 M 为 ABC 的重心，则 0，MA MB MC ，MA MB MC a b c 0，MA MB 33 MC a( ) b c 0.MB MC MB 33 MC 即( b a) ( c a) 0，MB 33 MC 与 不共线，MB MC b a0， c a0.32得 a b c111 ，33令 a1， b1， c ，3则 cosC ，a2 b2 c22a
10、b 1 1 3211 12 C ，故选 D232(2018唐山市一模)若 sin( ) ，则 cos( 2 )( A ) 6 13 23A B 79 79C D29 297解析 cos( 2 )cos( 2 )12sin 2( )(1 )23 3 6 29.793(2018威海二模)已知等腰 ABC 满足 AB AC， BC2 AB，点 D 为 BC 边上的一点3且 AD BD，则 sin ADB 的值为( C )A B 36 23C D223 63解析 如图，设 AB AC a， AD BD b，由 BC2 AB，3得 BC a，233在 ABC 中，由余弦定理得，cos ABCAB2 BC
11、2 AC22ABBCa2 23a3 2 a22a233a .33 AB AC， ABC 是锐角，则 sin ABC ，1 cos2 ABC63在 ABD 中，由余弦定理得 AD2 AB2 BD22 ABBDcos ABD， b2 a2 b22 ab ，33解得 a b，233由正弦定理得， ，ADsin ABD ABsin ADB8 ，b63 asin ADB解得 sin ADB .2234钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB1， BC ，则 AC( B )12 2A5 B 5C2 D1解析 S ABBCsinB 1 sinB ，12 12 2 12sin B ，22 B 或 . 4 34当
12、 B 时，根据余弦定理有 AC2 AB2 BC22 ABBCcosB1225，34 AC ，此时 ABC 为钝角三角形，符合题意；5当 B 时，根据余弦定理有 AC2 AB2 BC22 ABBCcosB1221， 4 AC1，此时 AB2 AC2 BC2， ABC 为直角三角形，不符合题意故 AC .55设 ， ，且 tan ，则( C )(0， 2) (0， 2) 1 sincosA3 B3 2 2C2 D2 2 2解析 因为 tan ，sincos 1 sincos去分母得 sin cos cos cos sin ，所以 sin cos cos sin cos ，即 sin( )cos s
13、in .( 2 )又因为 ， ，(0， 2) (0， 2)则 ，0 ，所以 2 2 2 2 2故 2 . 296已知 ，tan tan 3，则 cos( )的值为 . 3 33 12解析 因为 tan tan 3，且 ，所sincos sincos sin cos cos 3以 cos cos ，cos( )cos cos sin sin ，所以 sin sin 36 12 12，所以 cos( )cos cos sin sin .36 33 127已知点 O 是 ABC 的内心， BAC30， BC1，则 BOC 面积的最大值为.6 3 2 24解析 根据角平分线的性质可知， BOC105，
14、所以在 BOC 中，根据余弦定理有cos105 ，OB2 OC2 12OBOC 2 64等价于 OBOC OB2 OC21，2 62即 OBOC2 OBOC1，2 62所以 OBOC ，而 S BOC OBOCsin105 sin10524 2 6 12 12 .24 2 6 6 3 2 248已知向量 m 与 n(3，sin A cosA)共线，其中 A 是 ABC 的内角(sinA，12) 3(1)求角 A 的大小；(2)若 BC2，求 ABC 的面积 S 的最大值，并判断 S 取得最大值时 ABC 的形状解析 (1)因为 m n，所以 sinA(sinA cosA) 0.332所以 si
15、n2A 0，1 cos2A2 32 32即 sin2A cos2A1，即 sin 1.32 12 (2A 6)因为 A(0，)，所以 2A . 6 ( 6， 116 )故 2A ， A . 6 2 3(2)设角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，则由余弦定理，得 4 b2 c2 bc.10而 b2 c22 bc， bc42 bc， bc4(当且仅当 b c 时等号成立)，所以 S ABC bcsinA bc 4 ，12 34 34 3当 ABC 的面积取最大值时， b c.又 A ，故此时 ABC 为等边三角形 39(2018天津卷，15)在 ABC 中，内角 A， B， C 所
16、对的边分别为 a， b， c.已知bsinA acos .(B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2A B)的值解析 (1)在 ABC 中，由正弦定理 ，asinA bsinB可得 bsinA asinB，又由 bsinA acos ，(B 6)得 asinB acos ，即 sinBcos ，(B 6) (B 6)所以 sinB cosB sinB，可得 tanB .32 12 3又因为 B(0，)，可得 B . 3(2)在 ABC 中，由余弦定理及 a2， c3， B ， 3有 b2 a2 c22 accosB7，故 b .7由 bsinA acos ，可得 sinA .(B 6) 37因为 ac，故 cosA .27因此 sin2A2sin AcosA ，cos2 A2cos 2A1 .437 17所以，sin(2 A B)sin2 AcosBcos2 AsinB .437 12 17 32 3314
