1、1第一部分 专题七 第三讲 概率、随机变量及其分布列A 组1小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( C )A B 815 18C D115 130解析 根据题意可以知道，所输入密码所有可能发生的情况如下：M1，M2，M3，M4，M5，I1，I2，I3，I4，I5，N1，N2，N3，N4，N5 共 15 种情况，而正确的情况只有其中一种，所以输入一次密码能够成功开机的概率是 .1152(2018潍坊模拟)在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N(1， 2)( 0)，若
2、 在(0,2)内取值的概率为 0.8，则 在(0,1)内取值的概率为( C )A0.1 B0.2 C0.4 D0.8解析 因为 1，所以 P(0 2)0.82 P(0 1)，故 P(0 1)0.4.3某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )A0.8 B0.75 C0.6 D0.45解析 本题考查条件概率的求法设 A“某一天的空气质量为优良” ， B“随后一天的空气质量为优良” ，则P(B|A) 0.8，故选 AP A BP A 0.60.754随机变量 的取值为 0
3、,1,2.若 P( 0) ， E( )1，则 D( ) .15 25解析 设 P( 1) p，则 P( 2) p，从而由 E( )450 1 p2( p)1，得 p .故 D( )(01) 2 (11) 2 (21)15 45 35 15 352 .15 2525(2018河南信阳二模)如图所示， A， B 两点由 5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 ，则 P( 8) .45解析 解法一(直接法)：由已知得， 的可能取值为 7,8,9,10， P( 7) ，C2C12C35 15P( 8) ，C2C
4、1 C2C12C35 310P( 9) ，C12C12C1C35 25P( 10) ，C2C1C35 110 的概率分布列为： 7 8 9 10P 15 310 25 110 P( 8) P( 8) P( 9) P( 10) .310 25 110 45解法二(间接法)：由已知得， 的可能取值为 7,8,9,10，故 P( 8)与 P( 7)是对立事件，所以 P( 8)1 P( 7)1 .C2C12C35 456某小型玩具厂拟对 n 件产品在出厂前进行质量检测，若一件产品通过质量检测能获利润 10 元；否则产品报废，亏损 10 元设该厂的每件产品能通过质量检测的概率为 ，每23件产品能否通过质
5、量检测相互独立，现记对 n 件产品进行质量检测后的总利润为 Sn.(1)若 n6 时，求恰有 4 件产品通过质量检测的概率；(2)记 X S5，求 X 的分布列，并计算数学期望 EX.解析 (1) n6 时，恰有 4 件产品通过质量检测的概率：P C ( )4(1 )2 .4623 23 80243(2)因为 X S5，所以 X 的可能取值为50，30，10,10,30,50，P(X50)C ( )0(1 )5 ，0523 23 1243P(X30)C ( )1(1 )4 ，1523 23 102433P(X10)C ( )2(1 )3 ，2523 23 40243P(X10)C ( )3(1
6、 )2 ，3523 23 80243P(X30)C ( )4(1 )1 ，4523 23 80243P(X50)C ( )5(1 )0 ，523 23 32243所以 X 的分布列为：X 50 30 10 10 30 50P 1243 10243 40243 80243 80243 32243EX50 30 10 10 30 50 .1243 10243 40243 80243 80243 32243 5037甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1分；如果两人都没猜对，则“星队
7、”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概34率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两23轮活动，求：(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX.解析 (1)记事件 A：“甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” 由题意， E ABCD BCD A CD AB D ABC .A B C D 由事件的独立性与互斥性，得P(E) P(ABCD) P( BCD) P(A CD) P(A
8、B D) P(ABC )A B C D P(A)P(B)P(C)P(D) P( )P(B)P(C)P(D) P(A)P( )P(C)P(D) P(A)P(B)P( )P(D)A B C P(A)P(B)P(C)P( )D 2( )34 23 34 23 14 23 34 23 34 13 34 23 .234所以“星队”至少猜对 2 个成语的概率为 .23()由题意，随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0) ，14 13 14 13 1144P(X1)2( ) ，34 13 14 13 14 23 14 13 10144 572P(X2) ，34
9、 13 34 13 34 13 14 23 14 23 34 13 14 23 14 23 25144P(X3) ，34 23 14 13 14 13 34 23 12144 112P(X4)2( ) ，34 23 34 13 34 23 14 23 60144 512P(X6) .34 23 34 23 36144 14可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 1144 572 25144 112 512 14所以数学期望 EX0 1 2 3 4 6 .1144 572 25144 112 512 14 236B 组1为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学
10、校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 123 ，其中第 2 小组的频数为 12.(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选 3 人，设 X 表示体重超过 60kg 的学生人数，求 X 的分布列和数学期望解析 (1)设报考飞行员的人数为 n，前 3 个小组的频率分别为 p1， p2， p3，则由条件可得：5Error!解得 p10.125， p20.25， p30.375.又因为 p20.25 ，故 n48.12n(2)由(1)可得，
11、一个报考学生体重超过 60kg 的概率为P p3(0.0370.013)5 ，58由题意知 X 服从二项分布 B(3， )，58P(x k)C ( )k( )3 k(k0,1,2,3)，k358 38所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 27512 135512 225512 125512E(X)0 1 2 3 .27512 135512 225512 125512 1582从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， .1213 14(1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望；(2)
12、若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率解析 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X0)(1 )(1 )(1 ) ，12 13 14 14P(X1) (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) ，12 13 14 12 13 14 12 13 14 1124P(X2)(1 ) (1 ) (1 ) ，12 13 14 12 13 14 12 13 14 14P(X3) .12 13 14 124所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 14 1124 14 124随机变量 X 的数学期望 E(X)0 1 2 3 .14 112
13、4 14 124 13126(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数， Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y Z1) P(Y0， Z1) P(Y1， Z0) P(Y0) P(Z1) P(Y1) P(Z0) .14 1124 1124 14 1148所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .11483已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到
14、检测出 2 件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 AP(A) .A12A13A25 310(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X200) .A22A25 110P(X300) .A33 C12C13A22A35 310P(X400)1 P(X200) P(X300)1 .110 310 610故 X 的分布列为X 200 300 400P 110 310 610EX200 300 400 350.110 310 6104某公司计划购买 2 台机器，该种机器使
15、用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：7以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数(1)求 X 的分布列(2)若要求 P(X n)0.5，确定 n 的最小值(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与
16、n20 之中选其一，应选用哪个？【解析】(1)每台机器更换的易损零件数为 8,9,10,11，记事件 Ai为第一台机器 3 年内换掉 i7 个零件( i1,2,3,4)记事件 Bi为第二台机器 3 年内换掉 i7 个零件( i1,2,3,4)由题知 P(A1) P(A3) P(A4) P(B1) P(B3) P(B4)0.2， P(A2) P(B2)0.4.设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为 X，则 X 的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22，P(X16) P(A1)P(B1)0.20.20.04，P(X17) P(A1)P(B2) P(A2)P(B1)0.20.4
17、0.40.20.16，P(X18) P(A1)P(B3) P(A2)P(B2) P(A3)P(B1)0.20.20.40.40.20.20.24，P(X19) P(A1)P(B4) P(A2)P(B3) P(A3)P(B2) P(A4)P(B1)0.20.20.40.20.20.40.20.20.24，P(X20) P(A2)P(B4) P(A3)P(B3) P(A4)P(B2)0.40.20.20.20.20.40.2，P(X21) P(A3)P(B4) P(A4)P(B3)0.20.20.20.20.08，P(X22) P(A4)P(B4)0.20.20.04.所以 X 的分布列为X 16 17 18 19 20 21 22P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04(2)要令 P(X n)0.5，0.040.160.240.5,0.040.160.240.240.5，则 n 的最小值为 19.8(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当 n19 时，费用的期望为 192005000.21 0000.081 5000.044 040，当 n20 时，费用的期望为 202005000.081 0000.044 080.所以应选用 n19.
