1、1题型练 7 大题专项(五)解析几何综合问题1.(2018 天津,理 19)设椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ,22+22 53点 A 的坐标为( b,0),且 |FB|AB|=6 .2(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q.若sin AOQ(O 为原点),求 k 的值 .|=52422.已知椭圆 C: =1(ab0)经过点 ,离心率为 .22+22 (1,32) 32(1)求椭圆 C 的方程;(2)不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,以 AB 为直径的圆过
2、原点,且线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 P ,求直线 l 的方程 .(0,-32)3.设椭圆 =1(a )的右焦点为 F,右顶点为 A.已知 ,其中 O 为原点, e22+233 1|+ 1|=3|为椭圆的离心率 .(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线与 l 交于点 M,与 y 轴交于点H.若 BF HF,且 MOA MAO,求直线 l 的斜率的取值范围 .34.(2018 北京,理 19)已知抛物线 C:y2=2px 经过点 P(1,2).过点 Q(0,1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,且直
3、线 PA 交 y 轴于点 M,直线 PB 交 y 轴于点 N.(1)求直线 l 的斜率的取值范围;(2)设 O 为原点, = = ,求证: 为定值 .,1+15.已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点 .(1)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR FQ;(2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程 .46.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 ,22+22 12两准线之间的距离
4、为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象限,过点 F1作直线 PF1的垂线 l1,过点 F2作直线 PF2的垂线 l2.(1)求椭圆 E 的标准方程;(2)若直线 l1,l2的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标 .5题型练 7 大题专项(五)解析几何综合问题1.解 (1)设椭圆的焦距为 2c,由已知有 ,22=59又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得, |FB|=a,|AB|= b.2由 |FB|AB|=6 ,可得 ab=6,2从而 a=3,b=2.所以,椭圆的方程为 =1.29+24(2)设点 P 的坐标为( x1,y1),点 Q 的坐标为( x2,y2).由已知
5、有 y1y20,故 |PQ|sin AOQ=y1-y2.又因为 |AQ|= ,而 OAB= ,2 4故 |AQ|= y2.2由 sin AOQ,可得 5y1=9y2.|=524由方程组 消去 x,可得 y1= 易知直线 AB 的方程为 x+y-2=0,由方程组=,29+24=1, 692+4.消去 x,可得 y2=,+-2=0, 2+1.由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=3 ,两边平方,整理得 56k2-50k+11=0,解得 k= ,或 k=92+412 1128.所以, k 的值为12或 1128.62.解 (1)由题意得 解得 a=2,b=1.=32,12+342=1,2=2+2,
6、故椭圆 C 的方程是 +y2=1.24(2)设直线 l 的方程为 y=kx+t,设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 消去 y,得(1 +4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,则有 x1+x2= ,x1x2=+,24+2=1, -81+42 42-41+42. 04k2+1t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t= ,21+42y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2 +kt +t2=42-41+42 -81+42 2-421+42.因为以 AB 为直径的圆过坐标原点,所以 OA OB,x1x2+y1y2=0.因为
7、x1x2+y1y2= =0,42-41+42+2-421+42所以 5t2=4+4k2.因为 0,所以 4k2+1t2,解得 t32 32.又设 A,B 的中点为 D(m,n),则 m= ,n=1+22 =-41+421+22 = 1+42.因为直线 PD 与直线 l 垂直,所以 kPD=- ,得1=-32- 1+42=12.由 解得1+42=12,52=4+42, 1=1,2=-35.7当 t=- 时, 0 不成立 .当 t=1 时, k= ,35 12所以直线 l 的方程为 y= x+1 或 y=- x+1.12 123.解 (1)设 F(c,0),由 ,1|+ 1|=3|即 ,可得 a2
8、-c2=3c2,1+1= 3(-)又 a2-c2=b2=3,所以 c2=1,因此 a2=4.所以,椭圆的方程为 =1.24+23(2)设直线 l 的斜率为 k(k0),则直线 l 的方程为 y=k(x-2).设 B(xB,yB),由方程组24+23=1,=(-2)消去 y,整理得(4 k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得 x=2,或 x= ,82-642+3由题意得 xB= ,从而 yB=82-642+3 -1242+3.由(1)知, F(1,0),设 H(0,yH),有 =(-1,yH),=(9-4242+3, 1242+3).由 BF HF,得 =0,所以 =0,解得 yH
9、=42-942+3+1242+3 9-4212 .因此直线 MH 的方程为 y=- x+1 9-4212 .设 M(xM,yM),由方程组 消去 y,=(-2),=-1+9-4212 8解得 xM=202+912(2+1).在 MAO 中, MOA MAO|MA| |MO|,即( xM-2)2+ ,化简得 xM1,即 1,解得 k - ,或 k22+2 202+912(2+1) 64 64.所以,直线 l 的斜率的取值范围为 (-,- 6464,+).4.(1)解 因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2),所以 4=2p,解得 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.由题意可知直线 l
10、的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y=kx+1(k0) .由 得 k2x2+(2k-4)x+1=0.2=4,=+1,依题意, = (2k-4)2-4k210,解得 k0,y00.当 x0=1 时, l2与 l1相交于 F1,与题设不符 .当 x01 时,直线 PF1的斜率为 ,直线 PF2的斜率为00+100-1.因为 l1 PF1,l2 PF2,所以直线 l1的斜率为 - ,直线 l2的斜率为 - ,0+100-10从而直线 l1的方程: y=- (x+1), 0+10直线 l2的方程: y=- (x-1). 0-10由 ,解得 x=-x0,y= ,20-10所以 Q(-0,20-10 ).因为点 Q 在椭圆上,由对称性,得 =y0,即 =1 或 =1.20-10 2020 20+2011又 P 在椭圆 E 上,故 =1.204+203由 解得 x0= ,y0= 无解 .20-20=1,204+203=1, 477377;20+20=1,204+203=1,因此点 P 的坐标为 (477,377).
