1、1专题二 立体几何高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)空间概念、空间想象能力、点线面位置关系判断、表面积与体积计算等，A 级要求；(2)线线、线面、面面平行与垂直的证明，B 级要求.真 题 感 悟1.(2018江苏卷)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_.解析 正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 ，则该正八面体的体积为 ( )212 .213 2 43答案 432.(2018江苏卷)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB， AB1 B1C1.求证：(1) AB平面 A1B1C；(2
2、)平面 ABB1A1平面 A1BC.证明 (1)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB A1B1.因为 AB 平面 A1B1C， A1B1 平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形.又因为 AA1 AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1 A1B.又因为 AB1 B1C1， BC B1C1，所以 AB1 BC.又因为 A1B BC B， A1B 平面 A1BC， BC 平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC.2因为 AB1 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC.
3、3.(2017江苏卷)如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD平面 BCD，点E， F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD.求证：(1) EF平面 ABC；(2)AD AC.证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD，所以 EF AB.又因为 EF 平面 ABC， AB 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCD BD， BC 平面 BCD， BC BD，所以 BC平面 ABD.因为 AD 平面 ABD，所以 BC AD.又 AB AD， BC AB B
4、， AB 平面 ABC， BC 平面 ABC，所以 AD平面 ABC，又因为 AC 平面 ABC，所以 AD AC.4.(2016江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别为 AB， BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D A1F， A1C1 A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1C1 AC.在 ABC 中，因为 D， E 分别为 AB， BC 的中点，所以 DE AC，于是 DE A1C1.又 DE 平面 A1C1F， A1C1 平面 A1C1F，所以
5、直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC A1B1C1中， A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1 平面 A1B1C1，所以 A1A A1C1.又 A1C1 A1B1， A1A 平面 ABB1A1， A1B1 平面 ABB1A1， A1A A1B1 A1，所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D 平面 ABB1A1，所以 A1C1 B1D.又 B1D A1F， A1C1 平面 A1C1F， A1F 平面 A1C1F， A1C1 A1F A1，3所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D 平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.考 点 整 合1.四棱柱、直四棱
6、柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.2.空间几何体的两组常用公式(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式： S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)； S 锥侧 ch( c 为底面周长， h为斜高)；12 S 台侧 (c c) h( c， c 分别为上下底面的周长， h为斜高)；12 S 球表 4 R2(R 为球的半径).(2)柱体、锥体和球的体积公式： V 柱体 Sh(S 为底面面积， h 为高)； V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13 V 球 R3.433.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理： a ， b ， a b a .
7、(2)线面平行的性质定理： a ， a ， b a b.(3)面面平行的判定定理： a ， b ， a b P， a ， b .(4)面面平行的性质定理： ， a， b a b.4.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理： m ， n ， m n P， l m， l n l .(2)线面垂直的性质定理： a ， b a b.(3)面面垂直的判定定理： a ， a .4(4)面面垂直的性质定理： ， l， a ， a l a .热点一 空间几何体的有关计算【例 1】 (1)(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体
8、积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_.V1V2(2)(2018徐州、连云港、宿迁三检)在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1平面AB1C1， AA11，底面三角形 ABC 是边长为 2 的正三角形，则此三棱柱的体积为_.(3)(2017南通模拟)设一个正方体与底面边长为 2 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相3 10等，则该正方体的棱长为_.解析 (1)设球半径为 R，则圆柱底面圆半径为 R，母线长为 2R.又V1 R22R2 R3， V2 R3，所以 .43 V1V2 2 R343 R3 32(2)因为 AA1平面 AB1C1， AB1 平面 AB1C1，所以 AA1 AB1
9、，又知 AA11， A1B12，所以AB1 ，同理可得 AC1 ，又知在 AB1C1中， B1C12，所以 AB1C1的边 B1C122 12 3 3上的高为 h ，其面积 S AB1C1 2 ，于是三棱锥 A A1B1C1的体积 V 三3 1 212 2 2棱锥 A A1B1C1 V 三棱锥 A1 AB1C1 S AB1C1AA1 ，进而可得此三棱柱 ABC A1B1C1的体积13 23V3 V 三棱锥 A A1B1C13 .23 2(3)由题意可得正四棱锥的高为 2，体积为 (2 )228，则正方体的体积为 8，所以棱13 3长为 2.答案 (1) (2) (3)232 25探究提高 (1
10、)涉及柱、锥及其简单组合体的计算问题，要在正确理解概念的基础上，画出符合题意的图形或辅助线(面)，再分析几何体的结构特征，从而进行解题.(2)求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.(3)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法求解.【训练 1】 (1)(2014江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1， S2，体积分别为V1， V2.若它们的侧面积相等，且 ，则 的值是_.S1S2 94 V1V2(2)(2012江苏卷)如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB AD3 cm， AA12 cm
11、，则四棱锥 A BB1D1D 的体积为_cm 3.(3)(2018苏州调研)将半径为 5 的圆分割成面积之比为 123 的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为 r1， r2， r3，则 r1 r2 r3_.解析 (1)设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1， r2和 h1， h2，由 ，得 ，则S1S2 94 94 .由圆柱的侧面积相等，得 2 r1h12 r2h2，即 r1h1 r2h2，则 ，所以 r1r2 32 h1h2 23 V1V2 .32(2)关键是求出四棱锥 A BB1D1D 的高，连接 AC 交 BD 于 O(图略)，在长方体中， AB AD3， BD3 且
12、AC BD.又 BB1底面 ABCD， BB1 AC.2又 DB BB1 B， AC平面 BB1D1D， AO 为四棱锥 A BB1D1D 的高且 AO BD .12 322 S 矩形 BB1D1D BDBB13 26 ，2 2 VA BB1D1D S 矩形 BB1D1DAO 6 6(cm 3).13 13 2 322(3)由题意可得三个扇形的弧长分别为 ， ，5，分别等于三个圆锥底面圆的周长，53 103由 l2 r，则 r1 ， r2 ， r3 ，所以 r1 r2 r3 5.56 53 52 56 53 52答案 (1) (2)6 (3)5326热点二 空间中的平行和垂直的判断与证明考法
13、1 空间线面位置关系的判断【例 21】 (1)(2017南京、盐城模拟)设 ， 为两个不同的平面， m， n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是_(填上所有正确命题的序号).若 ， m ，则 m ；若 m ， n ，则 m n；若 ， n， m n，则 m ；若 n ， n ， m ，则 m .(2)(2018镇江期末)设 b， c 表示两条直线， ， 表示两个平面，现给出下列命题：若 b ， c ，则 b c；若 b ， b c，则 c ；若 c ， ，则c ；若 c ， c ，则 .其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号).解析 (1)由面面平行的性质可得正确；若 m ， n ，则
14、m， n 平行或异面，错误；由面面垂直的性质定理可知中缺少条件“ m ”，错误；若 n ， n ，则 ，又 m ，则 m ，正确.综上，命题正确的是.(2) b 和 c 可能异面，故错；可能 c ，故错；可能 c ， c ，故错；根据面面垂直判定定理判定 ，故正确.答案 (1) (2)探究提高 长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的
15、原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.考法 2 平行、垂直关系的证明【例 22】 (2015江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AC BC， BC CC1.设AB1的中点为 D， B1C BC1 E.求证：(1) DE平面 AA1C1C；(2)BC1 AB1.证明 (1)由题意知， E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DE AC.7又因为 DE 平面 AA1C1C， AC 平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC 平面 ABC，所以 AC CC1.又因为
16、AC BC， CC1 平面 BCC1B1， BC 平面 BCC1B1， BC CC1 C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1 平面 BCC1B1，所以 BC1 AC.因为 BC CC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1 B1C.因为 AC， B1C 平面 B1AC， AC B1C C，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1 平面 B1AC，所以 BC1 AB1.【例 23】 (2018全国卷)如图，在三棱锥 P ABC 中，AB BC2 ， PA PB PC AC4， O 为 AC 的中点.2(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2
17、MB，求点 C 到平面 POM 的距离.(1)证明 因为 AP CP AC4， O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3连接 OB.因为 AB BC AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.由22 12OP2 OB2 PB2知， OP OB.由 OP OB， OP AC 且 OB AC O， OB， AC 平面 ABC，知 PO平面 ABC.(2)解 作 CH OM，垂足为 H.又由(1)可得 OP CH， OM OP O， OM， OP 平面 POM，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.由题设可知 OC AC2
18、， CM BC ， ACB45.12 23 423所以 OM ，CO2 CM2 2COCMcos 45253又由 OMCH OCMCsin ACB， CH .12 12 OCMCsin ACBOM 4558所以点 C 到平面 POM 的距离为 .455探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.【训练 2】 (2017苏、锡、常、镇调研)如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB AC，
19、 AB PA， AB CD， AB2 CD， E， F， G， M， N 分别为 PB， AB， BC， PD， PC 的中点.求证：(1) CE平面 PAD；(2)平面 EFG平面 EMN.证明 (1)法一 如图 1，取 PA 的中点 H，连接 EH， DH.图 1又因为 E 为 PB 的中点，所以 EH AB，且 EH AB.又 AB CD， CD AB，12 12所以 EH CD，且 EH CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形.所以 CE DH.又 DH 平面 PAD， CE 平面 PAD，因此， CE平面 PAD.图 2法二 如图 2，连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以
20、AF AB.12又 CD AB，所以 AF CD，又 AF CD，12所以四边形 AFCD 为平行四边形.因此 CF AD.又 CF 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 CF平面 PAD.9因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点，所以 EF PA.又 EF 平面 PAD， PA 平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CF EF F， CF 平面 CEF， EF 平面 CEF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE 平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E， F 分别为 PB， AB 的中点，所以 EF PA.又 AB PA，所以 AB EF.同理可证 AB FG.又
21、 EF FG F， EF 平面 EFG， FG 平面 EFG，因此 AB平面 EFG.又 M， N 分别为 PD， PC 的中点，所以 MN DC，又 AB DC，所以 MN AB，所以 MN平面 EFG.又 MN 平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.1.求解几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算.(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用.(4)求解几何体的表面积时要注意 S 表 S 侧 S 底.2.锥体体积
22、公式为 V Sh，在求解锥体体积中，不能漏掉 .13 133.空间中点、线、面的位置关系的判定(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证
23、两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ， a l a.10一、填空题1.(2015江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.解析 设新的底面半径为 r，由题意得 r24 r28 5 242 28，解得13 13r .7答案 72.(2017苏北四市调研)已知圆锥的母线长为 10 cm，侧面积为 60 cm2，则此圆锥的体积为_cm 3.解析 设圆锥底面圆的半径为 r，母线为 l，则侧面积 rl10 r60，解得 r6，则高 h
24、8，则此圆锥的体积为 r2h 36896.l2 r213 13答案 963.(2018南京、盐城、徐州二模)已知平面 ， ，直线 m， n，给出下列命题：若 m ， n ， m n，则 ；若 ， m ， n ，则 m n；若m ， n ， m n，则 ；若 ， m ， n ，则 m n.其中是真命题的是_(填序号).解析 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， CD平面 ABC1D1， BC平面 ADC1B1，且BC CD，又因为平面 ABC1D1与平面 ADC1B1不垂直，故不正确；因为平面 ABCD平面A1B1C1D1，且 B1C1平面 ABCD， AB平面 A1B1C1D1，但
25、AB 与 B1C1不平行，故不正确.同理，我们以正方体的模型来观察，可得正确.答案 4.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120且面积为 3 的扇形，则该圆锥的体积等于_.解析 设圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，则侧面展开图扇形的面积为l2 3， l3，弧长为 2 r l2，故 r1，则该圆锥的高为12 23 23h 2 ，体积为 r2h .l2 r2 213 22311答案 2235.(2018苏、锡、常、镇调研)在边长为 4 的正方形 ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分)，折叠成底面边长为 的正四棱锥 S EFGH(如图 2)，则正四棱锥2S EFGH 的体
26、积为_.解析 连接 EG， HF，交点为 O，正方形 EFGH 的对角线 EG2， EO1，则点 E 到线段 AB 的距离为 1， EB ， SO 2，故正四棱锥 S EFGH 的体积为12 22 5 SE2 OE2 5 1( )22 .13 2 43答案 436.(2018天津卷)如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1 BB1D1D 的体积为_.解析 法一 连接 A1C1交 B1D1于点 E，则 A1E B1D1， A1E BB1，12则 A1E平面 BB1D1D，所以 A1E 为四棱锥 A1 BB1D1D 的高，且 A1E ，矩形 BB1D1D 的长和22
27、宽分别为 ，1，故 VA1 BB1D1D 1 .213 2 22 13法二 连接 BD1，则四棱锥 A1 BB1D1D 分成两个三棱锥 B A1DD1与B A1B1D1， VA1 BB1D1D VB A1DD1 VB A1B1D1 111 111 .13 12 13 12 13答案 137.设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1， S1，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2， S2，若 ，则 的值为_.V1V2 3 S1S2解析 棱长为 a 的正方体的体积 V1 a3，表面积 S16 a2，底面半径和高均为 r 的圆锥的体积 V2 r3，侧面积 S2 r2，则 ，则
28、 a r，13 2 V1V2 a313 r3 3所以 .S1S2 6a22 r2 32答案 328.如图，在圆锥 VO 中， O 为底面圆心，半径 OA OB，且 OA VO1，则 O 到平面 VAB 的距离为_.解析 由题意可得三棱锥 V AOB 的体积为 V 三棱锥 V AOB S AOBVO . VAB 是边长为13 16的等边三角形，其面积为 ( )2 ，设点 O 到平面 VAB 的距离为 h，则 V 三棱锥234 2 32O VAB S VABh h V 三棱锥 V AOB ，解得 h ，即点 O 到平面 VAB 的距离是 .13 13 32 16 33 33答案 33二、解答题9.
29、(2014江苏卷)如图，在三棱锥 P ABC 中， D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点.已知PA AC， PA6， BC8， DF5.13求证：(1)直线 PA平面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.证明 (1)因为 D， E 分别为棱 PC， AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA 平面 DEF， DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB 的中点， PA6， BC8，所以DE PA， DE PA3， EF BC4.又因为 DF5，故 DF2 DE2 EF2，12 12所以 DEF90，即 DE
30、EF.又 PA AC， DE PA，所以 DE AC.因为 AC EF E， AC 平面 ABC， EF 平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.10.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC60，PA AB BC， E 是 PC 的中点.(1)求证： CD AE；(2)求证： PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 P ABCD 中，因为 PA底面 ABCD，CD 平面 ABCD，故 PA CD.因为 AC CD， PA AC A，PA 平面 PAC， AC 平面 PAC，所以 CD平面
31、PAC.而 AE 平面 PAC，所以 CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA.因为 E 是 PC 的中点，所以 AE PC.由(1)知， AE CD，且 PC CD C， PC， CD 平面 PCD，所以 AE平面 PCD.而 PD 平面 PCD，所以 AE PD.因为 PA平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以 PA AB.又因为 AB AD， PA AD A， PA， AD 平面 PAD，所以 AB平面 PAD，又 PD 平面 PAD，所以 AB PD.又因为 AB AE A， AB 平面 ABE， AE 平面 ABE，14所以 PD平面 ABE.11
32、.如图，在四棱锥 PABCD 中， AB CD， AB AD， CD2 AB，平面 PAD底面ABCD， PA AD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证：(1)PA底面 ABCD；(2)BE平面 PAD；(3)平面 BEF平面 PCD.证明 (1)因为平面 PAD平面 ABCD AD.又平面 PAD平面 ABCD，且 PA AD， PA 平面 PAD，所以 PA底面 ABCD.(2)因为 AB CD， CD2 AB， E 为 CD 的中点，所以 AB DE，且 AB DE.所以 ABED 为平行四边形.所以 BE AD.又因为 BE 平面 PAD， AD 平面 PAD，所以 BE平面 PAD.(3)因为 AB AD，且四边形 ABED 为平行四边形.所以 BE CD， AD CD.由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PA CD.又因为 PA AD A， PA， AD 平面 PAD，所以 CD平面 PAD，从而 CD PD，且 CD 平面 PCD，又 E， F 分别是 CD 和 CP 的中点，所以 EF PD，故 CD EF.由 EF， BE 在平面 BEF 内，且 EF BE E，所以 CD平面 BEF.又 CD 平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD.
