1、1课时规范练 31 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固组1.(2017 河北武邑中学一模,文 3)设实数 x,y 满足不等式组 若 z=x+2y,则 z 的最x-y+1 0,x+y-4 0,大值为( )A.-1 B.4 C. D.132 1522.(2017 全国 ,文 5)设 x,y 满足约束条件 则 z=x-y 的取值范围是( )3x+2y-6 0,x 0,y 0, A.-3,0 B.-3,2C.0,2 D.0,33.(2017 山东,文 3)已知 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值是( )x-2y+5 0,x+3 0,y 2, A.-3 B.-1 C.1 D.
2、34.给出平面区域如图所示,其中 A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数 z=ax+y(a0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 的值是( )A.32B.12C.2D. 导学号 24190756525.(2017 福建泉州一模,文 5)已知实数 x,y 满足 则 z=ax+y(a0)的最小值为( )x 0,x-2y 0,y x-1,A.0 B.a C.2a+1 D.-16.已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点( x,y)在 ABC 内部,则 z=-x+y的取值范围是( )2A.(1- ,2) B.(0,2)3C.( -1,2)
3、D.(0,1+ )3 37.(2017 河南新乡二模,文 4)已知实数 x,y 满足 的最大值为( )x-y+2 0,x+y-4 0,4x-y-4 0,则 y+2x+1A.3 B.13C.2 D.528.若 x,y 满足约束条件 则 z=3x-4y 的最小值为 . x-y 0,x+y-2 0,y 0, 9 已知实数 x,y 满足条件 若目标函数 z=3x+y 的最小值为 5,则其最大值为 x 2,x+y 4,-2x+y+c 0,. 10.在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 所表示的平面区域上一动点,则2x+3y-6 0,x+y-2 0,y 0 |OM|的最小值是 . 11.(201
4、7 山东潍坊二模,文 9 改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产 1 吨甲种肥料和生产 1 吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产 1 吨甲种肥料产生的利润 2 万元,生产1 吨乙种肥料产生的利润为 3 万元,现有 A 种原料 20 吨,B 种原料 36 吨,C 种原料 32 吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为 万元 . 原料肥料 ABC甲 242乙 448综合提升组12.设变量 x,y 满足约束条件 若目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为 -6,则实数 a 等y 0,x+y-3 0,x-2y+6 0,于( )A.2 B.1 C.-2 D.-1
5、313.已知 x,y 满足约束条件 若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值x+y-2 0,x-2y-2 0,2x-y+2 0.为( )A. 或 -1 B.2 或12 12C.2 或 1 D.2 或 -114.(2017 福建龙岩一模,文 9)设不等式组 表示的平面区域为 M,若直线 y=kx-2 上存在x 1,x-y 0,x+y 4M 内的点,则实数 k 的取值范围是( )A.1,3 B.(- ,13, + )C.2,5 D.(- ,25, + )15.设 x,y 满足约束条件 若 z= 的最小值为 ,则 a 的值为 .导学号x 0,y 0,x3a+y4a 1, x+2y
6、+3x+1 3224190757 创新应用组16.(2017 山西晋中一模,文 10)若 x,y 满足约束条件 则 z= 的最小值为( )x+y 0,x-y 0,x2+y2 4, y-2x+3A.-2 B.- C.- D.23 125 2-4717.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要 A,B,C 三种主要原料 .生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料 ABC甲 483乙 5510现有 A 种原料 200 吨,B 种原料 360 吨,C 种原料 300 吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料 .已知生产1 车皮甲种肥料,产生的利润为 2 万元;生产 1
7、车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元 .分别用 x,y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 .(1)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润 .答案：41.C 如图,作出不等式对应的平面区域,由 z=x+2y,得 y=- x+ z 平移直线 y=- x+ ,由图象可知当直12 12 12 z2线经过点 A 时,直线的截距最大,此时 z 最大 .由x-y+1=0,x+y-4=0,得 x=32,y=52,即 A ,此时 z 的最大值为 z= +2 .(32,52) 32 52=1322.B 画出不
8、等式组表示的可行域,如图 .结合目标函数的几何意义可得目标函数在点 A(0,3)处取得最小值 z=0-3=-3,在点 B(2,0)处取得最大值 z=2-0=2.故选 B.3.D 可行域为如图所示阴影部分(包括边界) .把 z=x+2y 变形为 y=- x+ z,作直线 l0:y=- x 并向上平移,当直线过点 A 时, z 取最大值,易求点12 12 12A 的坐标为( -1,2),所以 zmax=-1+22=3.4.B 直线 y=-ax+z(a0)的斜率为 -a0)为 y=-ax+z,由图可知,当直线 y=-ax+z 过点 A(0,-1)时,直线在 y 轴上的截距最小, z 有最小值为 -1
9、.6.A 由顶点 C 在第一象限,且与点 A,B 构成正三角形可求得点 C 的坐标为(1 + ,2).将目标函数化3为斜截式为 y=x+z,结合图形可知当 y=x+z 过点 C 时 z 取到最小值,此时 zmin=1- ,当 y=x+z 过点 B3时 z 取到最大值,此时 zmax=2,综合可知 z 的取值范围为(1 - ,2).37.D 作出不等式组对应的平面区域如图, 的几何意义是区域内的点到定点 D(-1,-2)的斜率,由y+2x+1图象知 BD 的斜率最大,由 即 B(1,3),此时 BD 的斜率 k= ,故选 D.x-y+2=0,x+y-4=0,得 x=1,y=3, 3+21+1=5
10、28.-1 画出不等式组表示的可行域,如图,结合目标函数的几何意义,得目标函数在点 A(1,1)处取得最小值 z=31-41=-1.69.10 画出 x,y 满足的可行域如下图,可得直线 x=2 与直线 -2x+y+c=0 的交点 A 使目标函数 z=3x+y取得最小值 5,故由 解得x=2,-2x+y+c=0, x=2,y=4-c,代入 3x+y=5 得 6+4-c=5,即 c=5.由 得 B(3,1).x+y=4,-2x+y+5=0,当过点 B(3,1)时,目标函数 z=3x+y 取得最大值,最大值为 10.10. 由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示 .2由图可知 |OM|的最小值即为
11、点 O 到直线 x+y-2=0 的距离,即 dmin= .|-2|2 = 211.19 设生产甲种肥料和生产乙种肥料分别为 x,y 吨,则 x,y 满足的条件关系式为2x+4y 20,4x+4y 36,2x+8y 32,x 0,y 0,即 x+2y 10,x+y 9,x+4y 16,x 0,y 0,再设生产甲乙两种肥料的利润之和为 z,则 z=2x+3y.由约束条件作出可行域如图:联立 解得 A(8,1),x+2y=10,x+y=9,作出直线 2x+3y=0,平移至点 A 时,目标函数 z=2x+3y 有最大值为 19. 当生产甲种肥料 8 吨,乙种肥料 1 吨时,利润最大,最大利润为 19
12、万元 .12.D 变量 x,y 满足约束条件 的可行域如图 .y 0,x+y-3 0,x-2y+6 0由目标函数 z=a|x|+2y 的最小值为 -6,可知目标函数过点 B,7由 解得 B(-6,0),-6=a|-6|,解得 a=-1,故选 D.y=0,x-2y+6=0,13.D (方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则 zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要 zA=zBzC或 zA=zCzB或 zB=zCzA,解得 a=-1 或 a=2.(方法二)目标函数 z=y-ax 可化为 y=a
13、x+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0 AB 或 l0 AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2.14.C 作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示 .x 1,x-y 0,x+y 4由于 y=kx-2 为过点 A(0,-2),且斜率为 k 的直线 l,由图知,当直线 l 过点 B(1,3)时, k 取最大值 =5,3+21-0当直线 l 过点 C(2,2)时, k 取最小值 =2,故实数 k 的取值范围是2,5 .2+22-0815.1 =1+ ,而 表示过点( x,y)与点( -1,-1)的直线的斜率,易知 a0,故作出可行x+2y+3x+1 2(y+1)x+1 y+1x+
14、1域如图阴影部分,由题意知 的最小值是 ,即 a=1.y+1x+1 14 (y+1x+1)min=0-(-1)3a-(-1)= 13a+1=1416.C 由约束条件 作出可行域如图,x+y 0,x-y 0,x2+y2 4,z= 的几何意义为可行域内的一个动点与定点 P(-3,2)连线的斜率 .y-2x+3设过点 P 的圆的切线的斜率为 k,则切线方程为 y-2=k(x+3),即 kx-y+3k+2=0.由 =2,解得 k=0 或 k=- ,|3k+2|k2+1 125z= 的最小值为 - .故选 C.y-2x+3 12517.解 (1)由已知, x,y 满足的数学关系式为4x+5y 200,8
15、x+5y 360,3x+10y 300,x 0,y 0. 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 1 中的阴影部分:9图 1图 2(2)设利润为 z 万元,则目标函数为 z=2x+3y.考虑 z=2x+3y,将它变形为 y=- x+ ,这是斜率为 - ,随 z 变化的一族平行直线, 为直线在 y 轴上23 z3 23 z3的截距,当 取最大值时, z 的值最大 .又因为 x,y 满足约束条件,所以由图 2 可知,当直线 z=2x+3y 经z3过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大 .z3解方程组 得点 M 的坐标为(20,24) .4x+5y=200,3x+10y=300,所以 zmax=220+324=112.即生产甲种肥料 20 车皮、乙种肥料 24 车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元 .
