1、1课时规范练 54 坐标系与参数方程基础巩固组1.已知曲线 C: =1,直线 l: (t为参数) .x24+y29 x=2+t,y=2-2t(1)写出曲线 C的参数方程,直线 l的普通方程;(2)过曲线 C上任意一点 P作与 l夹角为 30的直线,交 l于点 A,求 |PA|的最大值与最小值 .2.(2017辽宁大连一模,文 22)已知在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点 O为极点,以 x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 = 4cos ,直线 l的参数方程为(t为参数) .x=1-255t,y=1+ 55t(1)求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l的普通方程;(2)若曲
2、线 C2的参数方程为 ( 为参数),曲线 C1上点 P的极角为 ,Q为曲线 C2上的x=2cos ,y=sin 4动点,求 PQ的中点 M到直线 l距离的最大值 .3.(2017安徽马鞍山一模,文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ( 为x=cos ,y=1+sin 参数, R),在以坐标原点为极点, x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2: sin.( - 4)= 2(1)求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1和曲线 C2相交于 A,B两点,求 |AB|的值 .24.在直角坐标系 xOy中,圆 C的方程为( x+6)2+y2=25.(1)
3、以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C的极坐标方程;(2)直线 l的参数方程是 (t为参数), l与 C交于 A,B两点, |AB|= ,求 l的斜率 .x=tcos ,y=tsin 105.在直角坐标系 xOy中,曲线 C1: (t为参数, t0),其中 0 .在以 O为极点, x轴x=tcos ,y=tsin 正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:= 2sin ,C3:= 2 cos .3(1)求 C2与 C3交点的直角坐标;(2)若 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求 |AB|的最大值 .导学号 24190956综合提升组6.(2017山西临汾三模,
4、文 22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐x= 3sin -cos ,y=3-2 3sin cos -2cos2 标系 .曲线 C2的极坐标方程为 sin m.( - 4)= 223(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1与曲线 C2有公共点,求实数 m的取值范围 .7.(2017山西太原二模,22)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 (其中 为参x=2cos ,y=sin 数),以原点 O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 (tan cos -
5、 sin )=1 ,点 A,B(A在 x轴下方)是曲线 C1与 C2的两个( 为常数, 0 ,且 2)不同交点 .(1)求曲线 C1普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)求 |AB|的最大值及此时点 B的坐标 .8.在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数) .以坐标原点为极点,以 xx= 3cos ,y=sin 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin =2 .( + 4) 24(1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)设点 P在 C1上,点 Q在 C2上,求 |PQ|的最小值及此时 P的直角坐标 .导学号 24190957创新应用组9
6、.(2017辽宁沈阳三模,22)已知曲线 C的参数方程为 ( 为参数),在同一平面直角坐x=2cos ,y= 3sin 标系中,将曲线 C上的点按坐标变换 得到曲线 C,以原点为极点, x轴的正半轴为极轴,建x=12x,y= 13y立极坐标系 .(1)求曲线 C的极坐标方程;(2)若过点 A (极坐标)且倾斜角为 的直线 l与曲线 C交于 M,N两点,弦 MN的中点为 P,求(32, ) 6的值 .|AP|AM|AN|510.(2017河北邯郸二模,文 22)在极坐标系中,已知三点 O(0,0),A ,B .(2, 2) (2 2, 4)(1)求经过 O,A,B的圆 C1的极坐标方程;(2)以
7、极点为坐标原点,极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 C2的参数方程为( 是参数),若圆 C1与圆 C2外切,求实数 a的值 .x= -1+acos ,y= -1+asin 答案：1.解(1)曲线 C的参数方程为 ( 为参数) .直线 l的普通方程为 2x+y-6=0.x=2cos ,y=3sin (2)曲线 C上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l的距离为 d= |4cos + 3sin - 6|,55则 |PA|= |5sin(+ )-6|,其中 为锐角,且 tan = .dsin30 =255 43当 sin(+ )=-1时, |PA|取得最大值,最大值为 .2255当 s
8、in(+ )=1时, |PA|取得最小值,最小值为 .2552.解 (1)曲线 C1的极坐标方程为 = 4cos ,即 2=4 cos ,可得直角坐标方程: C1:x2+y2-4x=0.直线 l的参数方程为 (t为参数),x=1-255t,y=1+ 55t消去参数 t可得普通方程: x+2y-3=0.(2)P ,直角坐标为(2,2), Q(2cos ,sin ),M ,(2 2, 4) (1+cos ,1+12sin )M 到 l的距离d=|1+cos +2+sin -3|56= ,105|sin( + 4)| 105从而最大值为 .1053.解 (1)由 x2+(y-1)2=1,x=cos
9、,y=1+sin x=cos ,y-1=sin 由 sin sin - cos = y-x=2,即 C2:x-y+2=0.( - 4)= 222 22 2(2) 直线 x-y+2=0与圆 x2+(y-1)2=1相交于 A,B两点,又 x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为 1,故圆心到直线的距离 d= ,|0-1+2|12+(-1)2= 22|AB|= 2 .12-(22)2= 24.解 (1)由 x= cos ,y= sin 可得圆 C的极坐标方程 2+12 cos + 11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线 l的极坐标方程为 = ( R) .设 A,B所对应的极径分别为
10、1, 2,将 l的极坐标方程代入 C的极坐标方程得 2+12 cos + 11=0.于是 1+ 2=-12cos , 1 2=11.|AB|=| 1- 2|= .( 1+ 2)2-4 1 2= 144cos2 -44由 |AB|= 得 cos2= ,tan = .1038 153所以 l的斜率为 或 - .153 1535.解 (1)曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,曲线 C3的直角坐标方程为 x2+y2-2 x=0.3联立 x2+y2-2y=0,x2+y2-2 3x=0,解得x=0,y=0或 x=32,y=32.所以 C2与 C3交点的直角坐标为(0,0)和 .(32,32)
11、(2)曲线 C1的极坐标方程为 = ( R, 0),其中 0 .因此 A的极坐标为(2sin , ),B的极坐标为(2 cos , ).3所以 |AB|=|2sin - 2 cos |= 4 .3 |sin( - 3)|当 = 时, |AB|取得最大值,最大值为 4.5676.解 (1)曲线 C1的参数方程为 x= 3sin -cos ,y=3-2 3sin cos -2cos2 ,消去参数,可得 y=x2(-2 x2),由 sin m,得 sin - cos = m,所( - 4)= 22 22 22 22以曲线 C2的直角坐标方程为 x-y+m=0.(2)由 可得 x2-x-m=0,y=x
12、2,x-y+m=0, 曲线 C1与曲线 C2有公共点,m=x 2-x= .(x-12)2-14- 2 x2, - m6 .147.解(1)曲线 C1的参数方程为 (其中 为参数),普通方程为 +y2=1;x=2cos ,y=sin x24曲线 C2的极坐标方程为 (tan cos - sin )=1,直角坐标方程为 xtan -y- 1=0.(2)C2的参数方程为 (t为参数),代入 +y2=1,得 t2-x=tcos ,y= -1+tsin x24 (14 cos2 +sin2 )2tsin = 0,t 1+t2= ,2sin14cos2 +sin2|AB|= ,|2sin14cos2 +s
13、in2 |=| 83sin + 1sin | 0 ,且 , 2 sin (0,1),|AB| max= ,此时 B的坐标为 .433 (433,13)8.解 (1) C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.x23(2)由题意,可设点 P的直角坐标为( cos ,sin ).3因为 C2是直线,所以 |PQ|的最小值即为 P到 C2的距离 d( )的最小值,d( )= .|3cos +sin -4|2 = 2|sin( + 3)-2|当且仅当 = 2k + (kZ)时, d( )取得最小值,最小值为 ,此时 P的直角坐标为 . 6 2 (32,12)89.解 (1)
14、C: =1,x=2cos ,y= 3sin x24+y23 x=12x,y= 13yx=2x,y= 3y,代入 C的普通方程可得 x2+y2=1,因为 2=x2+y2,所以曲线 C的极坐标方程为 C:= 1.(2)点 A 的直角坐标是 A ,(32, ) (32,0)将 l的参数方程 x= -2+tcos 6,y=tsin 6 代入 x2+y2=1,可得 4t2-6 t+5=0,t 1+t2= ,t1t2= ,3332 54.|AP|AM|AN|=|t1+t22|t1t2|=33510.解 (1)将 O,A,B三点化成直角坐标为 O(0,0),A(0,2),B(2,2). 圆 C1的圆心为(1,1),半径为 ,2 圆 C1的普通方程为( x-1)2+(y-1)2=2,将 代入普通方程得 2-2 cos - 2 sin = 0,x= cos ,y= sin = 2 sin .2 ( + 4)(2) 圆 C2的参数方程为 ( 是参数),x= -1+acos ,y= -1+asin 圆 C2的普通方程为( x+1)2+(y+1)2=a2. 圆 C2的圆心为( -1,-1),半径为 |a|. 圆 C1与圆 C2外切, 2 +|a|,解得 a= .2= 2 2
