1、1专题探究课四高考导航 1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算；2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力.考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法.热点一 空间位置关系与几何体度量计算(教材 VS 高考)以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体)为载体，通过空间平行、垂直关系的论
2、证命制，主要考查公理 4 及线、面平行与垂直的判定定理与性质定理，常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交汇考查，考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思想，一般以解答题的形式出现，难度中等.【例 1】 (满分 12 分)(2017全国卷)如图，四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD， AB BC AD， BAD ABC90.12(1)证明：直线 BC平面 PAD；(2)若 PCD 的面积为 2 ，求四棱锥 P ABCD 的体积.7教材探源 1.考题源于教材必修 2P74 习题 2.3B 组 T2，T4 及 P62 习题 T3，将教材三棱锥改成
3、以四棱锥为载体，考查空间平行与垂直，在问题(1)和(2)的前提下设置求四棱锥的体积，在计算体积的过程中，考查面面垂直与线面垂直，可谓合二为一的精彩之作.2.考题将教材中多个问题整合，采取知识嫁接，添加数据，层层递进设置问题，匠心独运，考题源于教材高于教材.满分解答 (1)证明 在平面 ABCD 中，因为 BAD ABC90.2所以 BC AD， 1 分 (得分点 1)又 BC平面 PAD， AD平面 PAD.所以直线 BC平面 PAD. 3 分 (得分点 2)(2)解 如图，取 AD 的中点 M，连接 PM， CM，由 AB BC AD 及 BC AD， ABC90得四边形 ABCM 为正方形
4、，则 CM AD.125 分 (得分点 3)因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， PM平面PAD，所以 PM AD， PM底面 ABCD，7 分 (得分点 4)因为 CM底面 ABCD，所以 PM CM.8 分 (得分点 5)设 BC x，则 CM x， CD x， PM x， PC PD2 x，2 3如图，取 CD 的中点 N，连接 PN.则 PN CD，所以 PN x.因为 PCD 的面积为 2 ，142 7所以 x x2 ，12 2 142 7解得 x2(舍去)或 x2.10 分 (得分点 6)于是 AB BC2， AD4， PM2 .
5、3所以四棱锥 P ABCD 的体积 V 2 4 .13 2（ 2 4）2 3 312 分 (得分点 7)得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写.如第(1)问中的 BC AD，第(2)问中3CM AD， PM CM， PN x 等.142得关键分：解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC平面 PAD， AD平面 PAD 两个条件，否则不能得全分.在第(2)问中，证明 PM平面ABCD 时，一定写全三个条件，如平面 PAD平面 ABCD AD， PM AD 一定要有，否则要扣分.再如第(2)问
6、中，一定要分别求出 BC， AD 及 PM，再计算几何体的体积.得计算分：涉及体积与面积的计算，正确求得数据结果是关键，如利用面积求线段 BC的长度，否则无法得分，再者 PM 及 AD 的计算失误也会扣去 2 分，在第(2)问的推理中，巧用第(1)问结果，借助 BC AD，证明 CM AD 优化解题过程.第一步：根据平面几何性质，证 BC AD.第二步：由线面平行判定定理，证线 BC平面 PAD.第三步：判定四边形 ABCM 为正方形，得 CM AD.第四步：证明直线 PM平面 ABCD.第五步：利用面积求边 BC，并计算相关量.第六步：计算四棱锥 P ABCD 的体积.【训练 1】 (201
7、5全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形， G 是 AC 与 BD 的交点， BE平面ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E ACD 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.63(1)证明 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD.因为 BE平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 AC BE，且 BE BD B，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)解 设 AB x，在菱形 ABCD 中，由 ABC120，可得 AG GC x， GB GD .32 x24因为 AE EC，所以在 Rt AEC
8、 中，可得 EG x.32由 BE平面 ABCD， BG平面 ABCD 知 BE BG，故 EBG 为直角三角形，可得 BE x.22由已知得，三棱锥 E ACD 的体积 VE ACD ACGDBE x3 ，故 x2.13 12 624 63从而可得 AE EC ED .6所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .5故三棱锥 E ACD 的侧面积为 32 .5热点二 平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体
9、图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向.【例 2】 (2016全国卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E， F 分别在AD， CD 上， AE CF， EF 交 BD 于点 H，将 DEF 沿 EF 折到 D EF 的位置.(1)证明： AC HD；(2)若 AB5， AC6， AE ， OD2 ，求五棱锥 D ABCFE 的体积.54 2(1)证明 由已知得 AC BD， AD CD，又由 AE CF 得 ，故 AC EF，由此得AEAD CFCDEF HD，故 EF HD，所以 AC HD.(2)解 由 EF AC
10、得 .OHDO AEAD 14由 AB5， AC6 得 DO BO 4，所以 OH1， D H DH3，于是AB2 AO2OD 2 OH2(2 )21 29 D H2，故 OD OH.2由(1)知 AC HD，又 AC BD， BD HD H，所以 AC平面 BHD，于是 AC OD，又由 OD OH， AC OH O，所以 OD平面 ABC.又由 得 EF .EFAC DHDO 925五边形 ABCFE 的面积 S 68 3 .12 12 92 694所以五棱锥 D ABCFE 的体积 V 2 .13 694 2 2322探究提高 1.(1)利用 AC 与 EF 平行，转化为证明 EF 与
11、HD垂直；(2)求五棱锥的体积需先求棱锥的高及底面的面积，结合图形特征可以发现 OD是棱锥的高，而底面的面积可以利用菱形 ABCD 与 DEF 面积的差求解，这样就将问题转化为证明 OD与底面垂直以及求DEF 的面积问题了.2.解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.【训练 2】 如图，直角三角形 ABC 中， A60，沿斜边 AC 上的高 BD 将 ABD 折起到PBD 的位置，点 E 在线段 CD 上.(1)求证： PE BD；(2)过点 D 作 DM BC 交 BC 于点 M，点 N
12、 为 PB 的中点，若 PE平面 DMN，求 的值.DEDC(1)证明 BD PD， BD CD，且 PD CD D， PD， CD平面 PCD， BD平面 PCD.又 PE平面 PCD， BD PE.(2)解 由题意，得 BM BC.14取 BC 的中点 F，则 PF MN.又 PF平面 DMN， MN平面 DMN， PF平面 DMN. 由条件 PE平面 DMN， PE PF P，平面 PEF平面 DMN， EF DM， .DEDC MFMC 13热点三 线、面位置关系中的开放存在性问题【例 3】 (2018北京海淀模拟)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA PD，
13、 PA AB， N 是棱 AD 的中点.6(1)求证：平面 PAB平面 PAD.(2)求证： PN平面 ABCD.(3)在棱 BC 上是否存在动点 E，使得 BN平面 DEP？并说明理由.(1)证明 在矩形 ABCD 中， AB AD，又因为 AB PA 且 PA AD A，所以 AB平面 PAD.又因为 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)证明 在 PAD 中， PA PD， N 是棱 AD 的中点，所以 PN AD.由(1)知 AB平面 PAD，且 PN平面 PAD，所以 AB PN.又因为 AB AD A，所以 PN平面 ABCD.(3)解 在棱 BC 上存在点 E，使
14、得 BN平面 DEP，此时 E 为 BC 的中点.证明如下：取 BC 中点 E，连接 PE， DE.在矩形 ABCD 中， ND BE， ND BE，所以四边形 BNDE 是平行四边形，则 BN DE.又因为 BN平面 DEP， DE平面 DEP，所以 BN平面 DEP.探究提高 1.在立体几何的平行关系问题中， “中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点” ，连“中点” ，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本.2.例 3 第(3)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时
15、常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论.7【训练 3】 (2018邯郸模拟)如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E 分别是棱 BC， AB 的中点，点 F 在棱 CC1上，已知 AB AC， AA13， BC CF2.(1)求证： C1E平面 ADF.(2)设点 M 在棱 BB1上，当 BM 为何值时，平面 CAM平面 ADF.(1)证明 连接 CE 交 AD 于 O，连接 OF.因为 CE， AD 为 ABC 的中线，则 O 为 ABC 的重心，故 ，故 OF C1E，CFCC1 COCE 23因为 OF平面 ADF， C1E平面 ADF，所以 C1E平面 ADF.(2)
16、解 当 BM1 时，平面 CAM平面 ADF.证明如下：因为 AB AC， D 是 BC 中点，故 AD BC，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， BB1平面 ABC， BB1平面 B1BCC1，故平面B1BCC1平面 ABC.又平面 B1BCC1平面 ABC BC， AD平面 ABC，所以 AD平面 B1BCC1， CM平面 B1BCC1，故AD CM.又 BM1， BC2， CD1， FC2，故 CBM FCD.易证 CM DF， DF AD D，故 CM平面 ADF.又 CM平面 CAM，故平面 CAM平面 ADF.1.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，
17、 AB AD， BAD60， E， F分别是 AP， AD 的中点.求证：(1)直线 EF平面 PCD；8(2)平面 BEF平面 PAD.证明 (1)在 PAD 中，因为 E， F 分别是 AP， AD 的中点，所以 EF PD.因为 EF平面 PCD， PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.(2)如图所示，连接 BD，因为 AB AD， BAD60，所以 ABD 为正三角形.因为 F 是 AD 的中点，所以 BF AD.因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， BF平面ABCD，所以 BF平面 PAD.又 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.2.
18、(2017全国卷)如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD CD.(1)证明： AC BD；(2)已知 ACD 是直角三角形， AB BD.若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.(1)证明 取 AC 的中点 O，连接 DO， BO，因为 AD CD，所以 AC DO.又由于 ABC 是正三角形，所以 AC BO.又 OD OB O，从而 AC平面 DOB，又 BD平面 DOB，故 AC BD.(2)解 如图，连接 EO，由(1)及题设知 ADC90，所以 DO AO.在 Rt AOB 中， BO2 AO2 A
19、B2，又 AB BD，所以 BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.由题设知 AEC 为直角三角形，所以 EO AC.129又 ABC 是正三角形，且 AB BD，所以 EO BD.12故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ，四面体 ABCE 的体12积为四面体 ABCD 的体积的 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.123.(2018郑州调研)如图，四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AD BC， CD BC， AD2， AB BC3， PA4， M 为
20、 AD 的中点， N 为 PC 上一点，且PC3 PN.(1)求证： MN平面 PAB；(2)求点 M 到平面 PAN 的距离.(1)证明 在平面 PBC 内作 NH BC 交 PB 于点 H，连接 AH，在 PBC 中， NH BC，且 NH BC1， AM AD1.13 12又 AD BC， NH AM 且 NH AM，四边形 AMNH 为平行四边形， MN AH，又 AH平面 PAB， MN平面 PAB， MN平面 PAB.(2)解 连接 AC， MC， PM，平面 PAN 即为平面 PAC，设点 M 到平面 PAC 的距离为 h.由题意可得 CD2 ， AC2 ，2 3 S PAC P
21、AAC4 ，12 3 S AMC AMCD ，12 2由 VM PAC VP AMC，得 S PACh S AMCPA，13 13即 4 h 4， h ，3 263点 M 到平面 PAN 的距离为 .63104.(2017天津卷)如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD平面PDC， AD BC， PD PB， AD1， BC3， CD4， PD2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；(2)求证： PD平面 PBC；(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.(1)解 如图，由已知 AD BC，故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与BC 所成的角.因为 AD平面 PDC
22、， PD平面 PDC，所以 AD PD.在 Rt PDA 中，由已知，得 AP ，故 cos DAP .AD2 PD2 5ADAP 55所以，异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .55(2)证明 由(1)知 AD PD，又因为 BC AD，所以 PD BC.又 PD PB， BC PB B，所以 PD平面 PBC.(3)解 过点 D 作 DF AB，交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角.因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角.由于 AD
23、BC， DF AB，故 BF AD1.由已知，得 CF BC BF2.又 AD DC，故 BC DC.在 Rt DCF 中，可得 DF 2 .在 Rt DPF 中，可得 sin DFP .CD2 CF2 5PDDF 55所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .555.(2018武汉调研)如图，在长方形 ABCD 中， AB2， BC1， E 为 CD 的中点， F 为 AE 的中点，现在沿 AE 将三角形 ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段 AB 上是否存在一点 K，使 BC平面 DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面 ADE平面
24、 ABCE，求证：平面 BDE平面 ADE.11(1)解 如图，线段 AB 上存在一点 K，且当 AK AB 时， BC平面 DFK.14证明如下：设 H 为 AB 的中点，连接 EH，则 BC EH. AK AB， F 为 AE 的中点，14 KF EH， KF BC， KF平面 DFK， BC平面 DFK， BC平面 DFK.(2)证明 在折起前的图形中 E 为 CD 的中点， AB2， BC1，在折起后的图形中， AE BE ，2从而 AE2 BE24 AB2， AE BE.平面 ADE平面 ABCE，平面 ADE平面 ABCE AE， BE平面 ABCE， BE平面 ADE， BE平面
25、 BDE，平面 BDE平面 ADE.6.(2016全国卷)如图，已知正三棱锥 P ABC 的侧面是直角三角形， PA6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明： G 是 AB 的中点；(2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 P DEF 的体积.(1)证明 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 AB PD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB DE.又因为 PD DE D，所以 AB平面 PED，12又 PG平面 PED，故
26、 AB PG.又由已知可得， PA PB，所以 G 是 AB 的中点.(2)解 在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得 PB PA， PB PC，又 EF PB，所以 EF PA， EF PC.又 PA PC P，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影.连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心.由(1)知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD CG.23由题设可得 PC平面 PAB， DE平面 PAB，所以 DE PC，因此 PE PG， DE PC.23 13由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2， PE2 .2在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF PF2.所以四面体 P DEF 的体积 V 222 .13 12 43
