1、6.2 等差数列及其前n项和,1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 等于 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为 (nN*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 . (3)等差数列的通项公式:an= ,可推广为an=am+(n-m)d.,-2-,知识梳理,考点自测,第2项,差,同一个常数,公差,an+1-an=d,等差中项,a1+(n-1)d,-3-,知识梳理,考点自测,2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可
2、化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列. (2)数列an是等差数列,且公差不为0Sn=An2+Bn(A,B为常数).,-4-,知识梳理,考点自测,1.已知an为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和. (1)在等差数列an中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,pN*). (2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等差数列,公差为md(k,mN*). (3)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也成等差数列,公差为n2d. (4)若an
3、,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.,-5-,知识梳理,考点自测,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次函数.( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.( ) (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的.( ) (6)等差数
4、列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ),答案,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017浙江,6)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“S4+S62S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2018福建泉州期末,理3)设等差数列an的前n项和为Sn.若a2-a1=2,S5-S4=9,则a50=( ) A.99 B.101 C.2 500 D.9245,答案,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017全国,
5、理4)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8,答案,解析,-10-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.在等差数列an中,a1=-2 008,其前n项和为Sn,若 ,则S2 018的值等于 .,答案,解析,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)(2017辽宁大连一模,理5)已知数列an满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+|a6|=( ) A.9 B.15 C.18 D.30 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( ) A.
6、3 B.4 C.5 D.6,答案: (1)C (2)C,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)an+1-an=2,a1=-5,数列an是首项为-5,公差为2的等差数列. an=-5+2(n-1)=2n-7,当n3时,|an|=-an;当n4时,|an|=an. 则|a1|+|a2|+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3=62-66-2(32-63)=18. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列an为等差数列,d=am+1-am=1,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.,-13-,考点1,考点2,
7、考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27
8、,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 (2)(2018湖北黄冈期末,理3)设等差数列an的前n项和为Sn,且S13=52,则a4+a8+a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.20,答案,解析,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明一个数列为等差数列的基本方法有哪些? 解题心得1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an
9、是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只需证明存在连续三项不成等差数列即可.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式;,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向1 等差数列项的性质的应用 例3(1)(2017福建龙岩一模)在等差数列an中,a3,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则an的前9项和等于( ) A.-18 B.9 C.18 D.36 (2)已知
10、an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是 . 思考如何快捷地求出结果?,答案,解析,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 等差数列前n项和的性质的应用 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为 . 思考本例题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列Sm, -Sm,S3m- ,也是等差数列.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)已知S
11、n表示等差数列an的前n项和,且 等于( )(2)(2017山西晋中一模,理17改编)已知等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-4,Sm=0,Sm+2=14(m2,且mN*),则m的值为 .,答案: (1)A (2)5,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(2017北京海淀模拟)等差数列an中,设Sn为其前n项和,且a10,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,四由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a
12、8=0, 又由a10,S3=S11可知d0,a80,所以当n=7时,Sn最大.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法? 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4等差数列an的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为多少?,答案,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第2项起成等差数列. 3.方程思想和化归思想:在解有关等差数列的问题时,可以先考虑把已知条件都化归为a1和d等基本量的关系,再通过建立方程(组)求解.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 2.注意利用“an-an-1=d”时加上条件“n2”;否则,当n=1时,a0无定义.,
