1、12.5 离散型随机变量的均值与方差,-2-,知识梳理,考点自测,1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,n. (1)均值:称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,标准差,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)= ; (2)E(+)=E+E; (3)D(aX+b)= .,aE(X)+b,a2D(X),3.两点分布与二项分布的均值与方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)= ,D(X)= . (2)若XB(n,p),则E(X)= ,D(X)= .,-3-,知识梳理,考点自测,p,p(1-p),
2、np,np(1-p),-4-,知识梳理,考点自测,1.如果X1,X2相互独立,那么E(X1X2)=EX1EX2. 2.均值与方差的关系:DX=EX2-E2X. 3.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.( ) (2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( ) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.( ) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均
3、程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( ) (5)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差.( ),答案,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中,成功次数X的均值是 ( ),答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,3.(2017浙江,8)已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,
4、5,4.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400,答案,解析,-9-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.(2017全国,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)= .,答案,解析,-10-,考点1,考点2,考点3,例1某新建公司规定,招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据,按时间段7
5、5,80),80,85),85,90),90,95), 95,100(单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.,-11-,考点1,考点2,考点3,(1)求抽取的200名职工中,参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率; (2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,试求X的分布列和数学期望E(X)和方差D(X).,解: (1)依题意,培训时间在90,95)小时的人数为2000.065=60, 在95,100)小时的人数为2000.025=20,故满足题意
6、的概率估计为,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,思考如何简便地求二项分布的随机变量X的均值与方差? 解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽
7、奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,例2(2017江西吉安检测,理17)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:,-18-,考点1,考点2,考点3,已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为 (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有9
8、9.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关,说明你的理由;,(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求的分布列、数学期望以及方差. 下面的临界值表供参考:,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤: (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求D(X).
9、2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练2某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 ,他们考核所得的等次相互独立. (1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量,求随机变量的分布列和数学期望E
10、().,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,例3某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:,-27-,考点1,考点2,考点3,以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购
11、买的易损零件数. (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?,-28-,考点1,考点2,考点3,解: (1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.
12、20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列为,-29-,考点1,考点2,考点3,(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19. (3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元). 当n=19时, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 当n=20时, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知当n
13、=19时所需费用的均值小于n=20时所需费用的均值,故应选n=19.,-30-,考点1,考点2,考点3,思考如何利用均值与方差对生活中相关问题进行决策? 解题心得利用均值、方差进行决策的方法:均值能够反映随机变量取值的“平均水平”,因此,当均值不同时,两个随机变量取值的水平可见分晓,由此可对实际问题作出决策判断;若两个随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两个变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小,进而进行决策.,-31-,考点1,考点2,考点3,对点训练3“十一黄金周”期间,某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的A地到B地有L1,L2两条路
14、线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口(1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由.,-32-,考点1,考点2,考点3,-33-,考点1,考点2,考点3,1.求某事件发生的概率,首先理解题意,分清概率模型,恰当选择概率计算公式. 2.求随机变量的均值、方差的基本方法: (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值、方差的性质求解; (3)如能
15、分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布),可直接利用它们的均值、方差公式求解.,-34-,考点1,考点2,考点3,3.利用均值与方差解决实际问题的步骤: (1)对实际问题进行具体分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中的随机变量设出来. (2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件,求出其相应的概率. (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值. (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释. 4.随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.,
