1、118.2 特殊的平行四边形18.2.1 矩形知能演练提升能力提升1.下列命题错误的是( )A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形B.矩形的每条对角线分矩形所得的三角形都全等C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D.四个角都相等的四边形是矩形2.如图所示, A,B,C 分别表示三个村庄, AB=1 000 m,BC=600 m,AC=800 m,在新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心 P 的位置应在( )A.AB 中点B.BC 中点C.AC 中点D. C 的平分线与 AB 的交点3.如图, AOB=90, AOB 内的任意一
2、点 P 到这个角两边的距离之和为 6,则图中四边形的周长为 . 4.如图,将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,若 EH=3 cm,EF=4 cm,则边 AD 的长是 cm. 5.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,若 CD=5 cm,则 EF= cm. 2(第 4 题图)(第 5 题图)6.如图,已知在矩形 ABCD 中, E 是 AD 上的一点, F 是 AB 上的一点, EF EC,且 EF=EC,DE=4 cm,矩形ABCD 的周长为 32 cm,求 AE 的长 .7.如图,在平行四边形
3、 ABCD 中, E 为 BC 的中点,连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F.(1)求证: AB=CF;(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时,四边形 ABFC 是矩形,并说明理由 .38.如图, ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E,H,G,F,连接 EG,FH.求证: EG=FH.创新应用49.如图,在 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 是 ABCD 外一点,且 AEC= BED=90.求证: ABCD 是矩形 .10 .如图,在 ABC 中,点 O 是 AC 边上(端点除外)的一个动点,过点 O 作直线 MN BC.设 MN 交 BCA 的平分
4、线于点 E,交 BCA 的外角平分线于点 F,连接 AE,AF.那么当点 O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论 .参考答案5能力提升1.C2.A 由勾股定理的逆定理可知,这是一个直角三角形,到三个顶点距离相等的点是斜边的中点 .3.12 由有三个角是直角的四边形是矩形,得该四边形是矩形 .所以该四边形的周长为 26=12.4.5 折叠前后的三角形是全等图形,所以四边形 EFGH 是矩形, AD=HF,HF= =5(cm).EH2+EF2= 32+425.5 因为 ABC 是直角三角形, CD 是斜边的中线,所以 CD= AB.AB=2CD=10cm.12又因为 EF 是 A
5、BC 的中位线,所以 EF= AB= 10=5(cm).12 126.解在 Rt AEF 和 Rt DCE 中,EF CE, FEC=90, AEF+ DEC=90,而 ECD+ DEC=90, AEF= ECD.又 FAE= EDC=90,EF=EC, Rt AEFRt DCE.AE=CD ,AD=AE+4. 矩形 ABCD 的周长为 32cm, 2(AE+AE+4)=32,解得 AE=6(cm).7.(1)证明 四边形 ABCD 是平行四边形,AB CD,AB=CD. BAE= CFE, ABE= FCE.E 为 BC 的中点, EB=EC. ABE FCE.AB=CF.(2)解当 BC=
6、AF 时,四边形 ABFC 是矩形 .理由如下: AB CF,AB=CF, 四边形 ABFC 是平行四边形 .BC=AF , 四边形 ABFC 是矩形 .8.分析要证对角线 EG=FH,只需证四边形 EHGF 是矩形 .由已知条件可得 EFG= AFB=90,同理四边形 EHGF 的其余三角也为直角,因此四边形 EHGF 是矩形 .证明 四边形 ABCD 是平行四边形, AD BC.6 DAB+ ABC=180.AF ,BF 分别平分 DAB, ABC, FAB= DAB, FBA= ABC.12 12 FAB+ FBA= 180=90.12 EFG= AFB=90.同理,四边形 EHGF 的
7、其余三角也为直角 . 四边形 EHGF 是矩形, EG=FH.创新应用9.证明连接 OE. 四边形 ABCD 是平行四边形, OA=OC ,OB=OD. AEC= BED=90,OE= AC= BD.12 12AC=BD. ABCD 是矩形 .10.分析当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时,四边形 AECF 是矩形 .由于 CE 平分 BCA,那么有1 =2,而 MN BC,利用平行线的性质有1 =3,等量代换有2 =3,于是有 OE=OC,同理 OC=OF.于是 OE=OF,而 OA=OC,那么可证四边形 AECF 是平行四边形 .又 CE,CF 分别是 BCA 及其外角的平分线,易证 ECF=90,从而可证四边形 AECF 是矩形 .解当点 O 运动到 AC 的中点(或 OA=OC)时,四边形 AECF 是矩形 .证明过程如下:CE 平分 BCA, 1 =2 .又 MN BC, 1 =3 . 3 =2, EO=CO.7同理, FO=CO.EO=FO.又 OA=OC, 四边形 AECF 是平行四边形 . 1 =2,4 =5, 1 +5 =2 +4 . 1 +5 +2 +4 =180, 2 +4 =90. 四边形 AECF 是矩形 .
