1、1【课时训练】平面向量的概念及线性运算一、选择题1(2018 湖北孝感统考)已知 a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|，则下列说法正确的是( )A a b0B a bC a 与 b 共线反向D存在正实数 ，使 a b【答案】D【解析】因为 a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|，则 a 与 b 共线同向，故 D正确2(2018 嘉兴一模)已知向量 a， b， c 中任意两个都不共线，但 a b 与 c 共线，且b c 与 a 共线，则向量 a b c ( )A a B bC c D0【答案】D【解析】依题意，设 a b mc， b c na，则有( a b
2、)( b c) mc na，即a c mc na.又 a 与 c 不共线，于是有 m1， n1， a b c， a b c0，故选D.3(2018 山东烟台期中)已知 a 2b， 5 a 6b， 7 a 2b，则下列一定共AB BC CD 线的三点是( )A A， B， C B A， B， DC B， C， D D A， C， D【答案】B【解析】因为 3 a 6b 3(a 2b)3 ，又 ， 有公共点 A，所以AD AB BC CD AB AB AD A， B， D 三点共线4(2018 郑州检测)已知平面内一点 P 及 ABC，若 ，则点 P 与 ABCPA PB PC AB 的位置关系是
3、( )A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在 ABC 外部【答案】C【解析】由 ，得 ，即 2 ，所以点 PPA PB PC AB PA PC AB PB AP PC AP PA AP 在线段 AC 上5(2018 辽宁沈阳模拟)在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若2 ， ，则 ( )AD DB CD 13CA CB 2A B13 23C D13 23【答案】D【解析】据向量运算的几何意义，画图如图所示其中 D、 E 分别是 AB 和 AC 的三等分点，以 EC 和 ED 为邻边作平行四边形，得 ，故 ，故选 D.CF 23C
4、B 236(2018 宁德质检)如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 m ， n ，则 m n 的值为( )AB AM AC AN A1 B2C3 D4【答案】B【解析】 O 为 BC 的中点， ( ) (m n ) .AO 12AB AC 12 AM AN m2AM n2AN M， O， N 三点共线， 1. m n2.m2 n27(2018 日照期末)在 ABCD 中， a， b， 3 ， M 为 BC 的中点，则 ( )AB AD AN NC MN A a b B a b14 14 12 12C a b
5、D a b12 34 34【答案】A【解析】由 3 ，得 4 3 3( a b)，又 a b，AN NC AN AC AM 123所以 (a b) a b.MN AN AM 34 (a 12b) 14 14二、填空题8(2018 滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，若起点和终点均在格点的向量 a， b， c 满足 c xa yb(x， yR)，则 x y_.【答案】135【解析】如图，取单位向量 i， j，则 a i 2j， b 2i j， c 3i 4j， c xa yb x(i 2j) y(2i j)( x2 y)i(2 x y)j.Error!Error! x y .1359(
6、2018 银川二检)已知点 D 为 ABC 所在平面上一点，且满足 ， ACDAD 15AB 45CA 的面积为 1，则 ABD 的面积为_【答案】4【解析】由 ，得 5 4 ，即 4( )，即 4 ，AD 15AB 45CA AD AB AC AD AB AC AD BD DC 点 D 在边 BC 上，且| |4| |.故 ABD 的面积是 ACD 的面积的 4 倍，故 ABD 的面积BD DC 为 4.10(2018 包头模拟)如图，在 ABC 中， AH BC 交 BC 于 H， M 为 AH 的中点，若 ，则 _.AM AB AC 4【答案】12【解析】因为 ( ) x( ) (1 x
7、) x ，又因为 AM 12AB BH 12AB AB AC 12 AB AC AM ，所以 1 x2 ，2 x，所以 .AB AC 1211(2017 浙江，15)已知向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2，则 |a b| |a b|的最小值是_，最大值是_【答案】4 2 5【解析】设 a(cos ，sin )， b(2,0)，则 a b(cos 2，sin )，a b(cos 2，sin )，所以| a b| ，| a b| .5 4cos 5 4cos 则( |a b| |a b|)2102 16,20，25 16cos2所以 4 |a b| |a b|2 .512(2018 济
8、南一模)设 G 为 ABC 的重心，且 sin A sin B sin GA GB C 0，则角 B 的大小为_GC 【答案】60【解析】 G 是 ABC 的重心， 0， ( )，将其代入 sin GA GB GC GA GB GC A sin B sin C 0，得(sin Bsin A) (sin Csin A) 0.又 ，GA GB GC GB GC GB 不共线，GC sin Bsin A0，sin Csin A0，则 sin Bsin Asin C根据正弦定理，知 b a c， ABC 是等边三角形，则角 B60.三、解答题13(2018 安徽合肥一中期末)设 a， b 是不共线的两
9、个非零向量(1)若 2 a b， 3 a b， a 3b，求证： A， B， C 三点共线；OA OB OC (2)若 a b， 2 a 3b， 2 a kb，且 A， C， D 三点共线，求 k 的值AB BC CD (1)【证明】由已知，得 3a b 2a b a 2b，AB OB OA a 3b 3a b 2a 4b，BC OC OB 故 2 ，BC AB 5又 与 有公共点 B，所以 A， B， C 三点共线BC AB (2)【解】 3 a 2b， 2 a kb.AC AB BC CD 因为 A， C， D 三点共线，所以 ，AC CD 即 3a 2b2 a k b.所以Error!所以Error!所以 k 的值为 .43
