1、1第 2讲 综合大题部分1.(2018高考全国卷)如图，四边形 ABCD为正方形， E， F分别为 AD， BC的中点，以 DF为折痕把 DFC折起，使点 C到达点 P的位置，且 PF BF.(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值解析：(1)证明：由已知可得 BF PF， BF EF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.(2)如图，作 PH EF，垂足为 H.由(1)得， PH平面 ABFD.以 H为坐标原点， 的方向为 y轴正方向，| |为单位长，HF BF 建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.由(
2、1)可得， DE PE.又 DP2， DE1，所以 PE .3又 PF1， EF2，所以 PE PF.所以 PH ， EH .32 32则 H(0,0,0)， P ， D ，(0， 0，32) ( 1， 32， 0) ， .DP (1， 32， 32) HP (0， 0， 32)又 为平面 ABFD的法向量，HP 2设 DP与平面 ABFD所成角为 ，则 sin .|HP DP HP |DP |343 34所以 DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 .342(2018高考全国卷)如图，在三棱锥 PABC中， AB BC2， PA PB PC AC4， O为 AC的中点2(1)证明： PO平面
3、ABC；(2)若点 M在棱 BC上，且二面角 MPAC为 30，求 PC与平面 PAM所成角的正弦值解析：(1)证明：因为 PA PC AC4， O为 AC的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，22所以 ABC为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2 PB2知 PO OB.由 OP OB， OP AC， OB AC O，得 PO平面 ABC.(2)如图，以 O为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立OB 空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)， B(2,0,0)， A(0，2,0)， C(0,2,0)，
4、P(0,0，2 )， (0,2,2 )3 AP 3取平面 PAC的一个法向量 (2,0,0)OB 设 M(a,2 a,0)(0 a2)，则 ( a,4 a,0)AM 设平面 PAM的法向量为 n( x， y， z)由 n0， n0 得AP AM Error!可取 y a，得平面 PAM的一个法向量为 n( (a4)， a， a)，3 3 3所以 cos ， n .OB 23 a 423 a 4 2 3a2 a23由已知可得|cos ， n|cos 30 ，OB 32所以 ，23|a 4|23 a 4 2 3a2 a2 32解得 a4(舍去)或 a .43所以 n .(833， 433， 43)
5、又 (0,2，2 )，所以 cos ， n .PC 3 PC 34所以 PC与平面 PAM所成角的正弦值为 .343(2017高考全国卷)如图，在四棱锥 PABCD中， AB CD，且 BAP CDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PA PD AB DC， APD90，求二面角 APBC的余弦值解析：(1)证明：由已知 BAP CDP90，得 AB AP， CD PD.由于 AB CD，故 AB PD，又 AP PD P，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD内作 PF AD，垂足为 F.由(1)可知， AB平面
6、PAD，故 AB PF，可得 PF平面 ABCD.以 F为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，| |为单位长度，建立如图所示的空间直角FA AB 坐标系 Fxyz.由(1)及已知可得 A ， P ， B ， C .(22， 0， 0) (0， 0， 22) (22， 1， 0) ( 22， 1， 0)所以 ， ( ，0,0)， ， (0,1,0)PC ( 22， 1， 22) CB 2 PA (22， 0， 22) AB 4设 n( x1， y1， z1)是平面 PCB的法向量，则Error!即 Error!可取 n(0，1， )2设 m( x2， y2， z2)是平面 PAB的法向量，则Err
7、or!即 Error!可取 m(1,0,1)则 cos n， m .nm|n|m| 232 33所以二面角 APBC的余弦值为 .334(2018高考全国卷)如图，边长为 2的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， M是 上异于C， D的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)当三棱锥 MABC体积最大时，求面 MAB与面 MCD所成二面角的正弦值解析：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC CD， BC平面ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM.因为 M为 上异于 C， D的点，且 DC为直径，所以 DM CM.又 BC CM
8、C，所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)以 D为坐标原点， D 的方向为 x轴正方向，建立如A 图所示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥 MABC体积最大时， M为 的中点由题设得D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2,2,0)， C(0,2,0)， M(0,1,1)，A (2,1,1)， A (0,2,0)， D (2,0,0)，M B A 设 n( x， y， z)是平面 MAB的法向量，则Error!即Error!可取 n(1,0,2)， D 是平面 MCD的法向量，因此A cos n， D ，sin n， D .A nDA |n|D
9、A | 55 A 2555所以面 MAB与面 MCD所成二面角的正弦值是 .2551. 如图所示，在平行四边形 ABCD中， BC2 AB4， ABC60， PA AD， E， F分别为BC， PE的中点， AF平面 PED.(1)求证： PA平面 ABCD；(2)求直线 BF与平面 AFD所成角的正弦值解析：(1)证明：连接 AE，由 BC2 AB4， ABC60， AE2， ED2 ，从而有 AE2 ED2 AD2，3所以 AE ED，又 AF AE A，所以 ED平面 PAE， PA平面 PAE，则 ED PA，又 PA AD， AD ED D，所以 PA平面 ABCD.(2)以 E为坐
10、标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,2,0)， D(2 ，0,0)， B( ，1,0)，3 3因为 AF平面 PED，所以 AF PE，又 F为 PE的中点，所以 PA AE2，所以 P(0,2,2)， F(0,1,1)， (0，1,1)， (2 ，2,0)， ( ，0,1)，AF AD 3 BF 3设平面 AFD的法向量为 n( x， y， z)，由Error! 得Error!6令 x1，得 n(1， ， )3 3设直线 BF与平面 AFD所成的角为 ，则 sin |cos ， n| ，BF |BF n|BF |n| 2327 217即直线 BF与平面 AFD所成角的正弦值为
11、.2172如图所示，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD底面 ABCD，底面 ABCD是平行四边形， ABC45， AD AP2， AB DP2 ， E为 CD的中点，点 F在线段 PB上2(1)求证： AD PC；(2)试确定点 F的位置，使得直线 EF与平面 PDC所成的角和直线 EF与平面 ABCD所成的角相等解析：(1)证明：如图所示，在平行四边形 ABCD中，连接 AC，因为 AB2 ， BC2， ABC45，2由余弦定理得， AC2 AB2 BC22 ABBCcos 454，得 AC2，所以 ACB90，即 BC AC.又 AD BC，所以 AD AC，因为 AD AP2， DP
12、2 ，2所以 PA AD，又 AP AC A，所以 AD平面 PAC，所以 AD PC.(2)因为侧面 PAD底面 ABCD， PA AD，所以 PA底面 ABCD，所以直线 AC， AD， AP两两互相垂直，以 A为原点，直线7AD， AC， AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则 A(0,0,0)，D(2,0,0)， C(0,2,0)， B(2,2,0)， E(1,1,0)， P(0,0,2)，所以 (0,2，2)，PC (2,0，2)， (2,2，2)PD PB 设 ( 0,1)，PFPB则 (2 ，2 ，2 )， F(2 ，2 ，2 2)，PF 所以 (2 1,2
13、1，2 2)，易得平面 ABCD的一个法向量为 m(0,0,1)EF 设平面 PDC的法向量为 n( x， y， z)，由Error! 得Error!令 x1，得 n(1，1，1)因为直线 EF与平面 PDC所成的角和直线 EF与平面 ABCD所成的角相等，所以|cos ， m|cos ， n|，EF EF 即 ，|EF m|EF |m|EF n|EF |n|所以|2 2| |，即 | 1| |( 0,1)，2 3 3解得 ，所以 .3 32 PFPB 3 32即当 时，直线 EF与平面 PDC所成的角和直线 EF与平面 ABCD所成的角相等PFPB 3 323如图，在三棱柱 ABC A1B1
14、C1中， AA1B145， AC BC，平面 BB1C1C平面AA1B1B， E为 CC1中点8(1)求证： BB1 AC；(2)若 AA12， AB ，直线 A1C1与平面 ABB1A1所成角为 45，求平面 A1B1E与平面2ABC所成锐二面角的余弦值解析：(1)证明：过点 C做 CO BB1交 BB1于 O，因为面 BB1C1C面 AA1B1B，BB1C1C面 AA1B1B B1B，所以 CO面 AA1BB1，故 CO BB1，又因为 AC BC， OC OC，所以 Rt AOCRt BOC，故 OA OB，因为 B1A1A OBA45，所以 AO BB1，又因为 BB1 CO，所以 B
15、B1面 AOC，故 BB1 AC.(2)以 O为坐标原点， OA， OB， OC所在直线为 x， y， z轴，建立空间直角坐标 O xyz，A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)， A1(1，2,0)， B1(0，1,0)， E(0，1,1)，设面 A1B1E的法向量为 n( x1， y1， z1)，则Error! Error!令 x11，得 n(1,1,0)设面 ABC的法向量为 m( x2， y2， z2)，则Error! Error!令 x21，得 m(1,1,1)，cos m， n ，mn|m|n| 63面 A1B1E与面 ABC所成锐二面角的余弦值为 .634(20
16、18临沂模拟)如图，在矩形 ABCD中， AB ， BC4， E是边 AD上一点，且39AE3，把 ABE沿 BE翻折，使得点 A到 A满足平面 A BE与平面 BCDE垂直(如图)(1)若点 P在棱 A C上，且 CP3 PA，求证： DP平面 A BE；(2)求二面角 BA ED的余弦值的大小解析：(1)证明：在图中，过 P作 PQ BC交 A B于点 Q，连接 QE.因为 CP3 PA，所以 ，PQBC A PA C 14因为 BC4，所以 PQ1，因为 DE BC， DE1，所以 DE綊 PQ，所以四边形 QEDP为平行四边形，所以 DP EQ.因为 DP平面 A BE， EQ平面 A
17、 BE，所以 DP平面A BE.(2)在图中，过 A作 A F BE于点 F，因为平面 A BE平面 BCDE.所以 A F平面 BCDE.因为 BA E90， A B ， A E3，3所以 A EB30， A F ， EF ，32 332过 F作 FG DE交 DE的延长线于点 G，则 FG ， EG .334 94如图，建立空间直角坐标系， D(0,0,0)， E(1,0,0)， B(4， ，0)， C(0， ，0)， A3 3， F ，则(134， 334， 32) (134， 334， 0) ， ， (1,0,0)EA (94， 334， 32) EF (94， 334， 0) DE 设平面 A BE的法向量 n( x， y， z)，则Error! 即Error!可取 n(1， ，0)3设平面 A DE的法向量 m( x1， y1， z1)，则Error! 即Error!可取 m(0,2， )310所以 cos m， n . 231 34 3 217因为二面角 BA ED为钝角，所以二面角 BA ED的余弦值的大小为 .217
