1、1【课时训练】双 曲 线一、选择题1(2018 广州联考)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 Cx2a2 y2b2的一条渐近线上，则 C 的方程为( )A. 1 B. 1x220 y25 x25 y220C. 1 D. 1x280 y220 x220 y280【答案】A【解析】依题意Error!解得Error!双曲线 C 的方程为 1.x220 y252(2018 福州质检)若双曲线 E： 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲x29 y216线 E 上，且| PF1|3，则| PF2|等于( )A11 B9 C5 D3【答案】B【解析】由题
2、意，知 a3， b4， c5.由双曲线的定义|PF1| PF2|3| PF2|2 a6，| PF2|9.故选 B.3(2018 庐江第二中学 1 月月考)已知椭圆 1( a1b10)的长轴长、短轴长、焦x2a21 y2b21距成等比数列，离心率为 e1；双曲线 1( a20， b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成x2a2 y2b2等比数列，离心率为 e2，则 e1e2等于( )A. B122C. D23【答案】B【解析】由 b a1c1，得 a c a1c1， e1 .21 21 21c1a1 5 12由 b a2c2，得 c a a2c2，2 2 2 e2 .c2a2 5 12 e1e2 1.
3、5 12 5 124(2018 辽宁凌源联考)已知圆 E：( x3) 2( y m4) 21( mR)，当 m 变化时，圆E 上的点与原点 O 的最短距离是双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率，则双曲线 Cx2a2 y2b2的渐近线方程为( )2A y2 x B y x12C y x D y x333【答案】C【解析】圆 E 的圆心到原点的距离 d ，所以当 m4 时，圆 E 上的点32 4 m 2与原点 O 的距离最短，为 312，即双曲线 C 的离心率 e 2.所以 ，ca ba c2 a2a 3则双曲线 C 的渐近线方程为 y x.故选 C.35(2018 南昌联考)已知 F1，
4、F2分别是双曲线 1( a0， b0)的左，右焦点，若x2a2 y2b2在双曲线的右支上存在一点 M，使得( ) 0(其中 O 为坐标原点)，且| |OM OF2 F2M MF1 | |，则双曲线的离心率为 ( )3MF2 A. 1 B.53 12C. D. 15 12 3【答案】D【解析】 ，F2M OM OF2 ( ) ( )( )0，OM OF2 F2M OM OF2 OM OF2 即 2 20.| | | c.OM OF2 OF2 OM 在 MF1F2中，边 F1F2上的中线等于| F1F2|的一半，可得 .MF1 MF2 | | | |，MF1 3MF2 可设| | ( 0)，| |
5、 ，MF2 MF1 3得( )2 24 c2，解得 c.3| | c，| | c.MF1 3 MF2 根据双曲线定义，得 2a| | |( 1) c.MF1 MF2 3双曲线的离心率 e 1.2c2a 36(2018 河南中原名校联考)已知点 F 是双曲线 1( a0， b0)的左焦点，点 Ex2a2 y2b2是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( )3A(1，) B(1,2)C(1,1 ) D(2,1 )2 2【答案】B【解析】由题意易知点 F 的坐标为( c,0)，A ， B ， E
6、(a,0)， ( c，b2a) ( c， b2a) ABE 是锐角三角形， 0.EA EB 即 0，EA EB ( c a， b2a) ( c a， b2a)整理，得 3e22 ee4， e(e33 e31)1， e(1,2)故选 B.二、填空题7(2018 辽宁沈阳月考)已知方程 mx2(2 m)y21 表示双曲线，则实数 m 的取值范围是_【答案】(，0)(2，)【解析】 mx2(2 m)y21 表示双曲线， m(2 m)0.解得 m0 或 m2.8(2018 天津河西区质检)已知双曲线 1( a0， b0)的左，右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且|
7、PF1|4| PF2|，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_【答案】53【解析】由定义，知| PF1| PF2|2 a.又| PF1|4| PF2|，| PF1| a，| PF2| a.83 23在 PF1F2中，由余弦定理，得 cos F1PF2 e2.649a2 49a2 4c2283a23a 178 98要求 e 的最大值，即求 cos F1PF2的最小值，当 cos F1PF21 时，得 e ，53即 e 的最大值为 .53三、解答题9(2018 石家庄模拟)中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1， F2，且| F1F2|2 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为
8、4，离心率之比为 3 7.13(1)求这两个曲线的方程；4(2)若 P 为这两个曲线的一个交点，求 cos F1PF2的值【解】(1)由已知 c ，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为 a， b，13双曲线实半轴长，虚半轴长分别为 m， n，则Error!解得Error! b6， n2.椭圆的方程为 1，x249 y236双曲线的方程为 1.x29 y24(2)不妨设 F1， F2分别为左，右焦点， P 是第一象限的一个交点，则| PF1| PF2|14，| PF1| PF2|6，| PF1|10，| PF2|4.又| F1F2|2 ，13 cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|
9、22|PF1|PF2| .102 42 213 22104 4510(2018 河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1： y x 与直线l2： y x 之间的阴影部分为 W.区域 W 中动点 P(x， y)到 l1， l2的距离之积为 1.(1)求点 P 的轨迹 C 的方程(2)动直线 l 穿过区域 W，分别交直线 l1， l2于 A， B 两点若直线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点，求证： OAB 的面积恒为定值(1)【解】由题意得 1，|x y|2 |x y|2所以|( x y)(x y)|2.因为点 P 在区域 W 内，所以 x y 与 x y 同号，所以( x
10、 y)(x y) x2 y22，所以点 P 的轨迹 C 的方程为 1.x22 y225(2)【证明】设直线 l 与 x 轴相交于点 D.当直线 l 的斜率不存在时，| OD| ，2|AB|2 ，2S OAB |AB|OD|2.12当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m，显然 k0， m0，则 D .(mk， 0)把直线 l 的方程与 C： x2 y22 联立得(k21) x22 kmx m220.由直线 l 与轨迹 C 有且只有一个公共点，知 4 k2m24( k21)( m22)0，得m22( k21)0，所以 k1 或 k1.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Er
11、ror!得 y1 ， 同理得 y2 .m1 k m1 k所以 S OAB |OD|y1 y2| 2.12 12| mk| m1 k m1 k| | m21 k2|综上， OAB 的面积恒为定值 2.11(2018 湖北部分重点中学第一次联考)在面积为 9 的 ABC 中，t an BAC ，且432 ，现建立以 A 点为坐标原点，以 BAC 的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系，CD DB 如图所示(1)求 AB， AC 所在直线的方程；(2)求以 AB， AC 所在直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程；(3)过点 D 分别作 AB， AC 所在直线的垂线 DF， DE(点 E， F
12、为垂足)，求 的值DE DF 6【解】(1)设 CAx ，则由 tan BACt an2 及 为锐角，2tan 1 tan2 43得 tan 2， AC 所在直线方程为 y2 x， AB 所在直线方程为 y2 x.(2)设所求双曲线的方程为 4x2 y2 ( 0)，C(x1， y1)， B(x2， y2)(x10， x20)由 2 ，得 D .CD DB (x1 2x23 ， 2x1 4x23 )点 D 在双曲线上，4 2 2 .(x1 2x23 ) (2x1 4x23 ) x1x2 .329由 tan BAC ，得 sin BAC .43 45| AB| x2，| AC| x1，x2 y2 5 x21 y21 5 S ABC |AB|AC|sin BAC12 5x1x212 452 x1x29，代入，得 16，双曲线的方程为 1.x24 y216(3)由题意，知 ， BAC，DE DF cos ， cos BAC .DE DF 35设 D(x0， y0)，则 1.x204 y2016又点 D 到 AB， AC 所在直线距离分别为| | ，| | ，DF |2x0 y0|5 DE |2x0 y0|5 | | |cos ， DE DF DE DF DE DF .|2x0 y0|5 |2x0 y0|5 35 48257
