1、1【课时训练】抛 物 线一、选择题1(2018 黑龙江第八中学月考)已知抛物线 C： y 的焦点为 F， A(x0， y0)是 C上一x28点，且| AF|2 y0，则 x0( )A2 B2 C4 D4【答案】D【解析】由 y 得 x28 y，x28抛物线 C的准线方程为 y2，焦点为 F(0,2)由抛物线的性质及题意，得| AF|2 y0 y02.解得 y02， x04.故选 D.2(2018 甘肃张掖一诊)过抛物线 y24 x的焦点的直线 l交抛物线于 P(x1， y1)，Q(x2， y2)两点，如果 x1 x26，则| PQ|等于( )A9 B8 C7 D6【答案】B【解析】抛物线 y2
2、4 x的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1.根据题意可得| PQ| PF| QF| x11 x21 x1 x228.3(2018 西安质检)已知抛物线 y22 px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A(1,0) B(1,0)C(0，1) D(0,1)【答案】B【解析】抛物线 y22 px(p0)的准线为 x 且过点(1,1)，故 1，解得p2 p2p2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)4(2018 云南昆明一中期末)已知点 F是抛物线 C： y24 x的焦点，点 A在抛物线 C上，若| AF|4，则线段 AF的中点到抛物线 C的准线的距离为( )A4 B3 C2
3、D1【答案】B【解析】由题意易知 F(1,0)，点 F到准线的距离为 2，点 A到准线的距离为| AF|4，则线段 AF的中点到抛物线 C的准线的距离为 3.2 425(2018 昆明调研)已知抛物线 C的顶点是原点 O，焦点 F在 x轴的正半轴上，经过 F的直线与抛物线 C交于 A、 B两点，如果 12，那么抛物线 C的方程为( )OA OB 2A x28 y B x24 yC y28 x D y24 x【答案】C【解析】由题意，设抛物线方程为 y22 px(p0)，直线方程为 x my ，p2联立Error!消去 x，得 y22 pmy p20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)
4、，则 y1 y22 pm， y1y2 p2，得 x1x2 y1y2 y1y2 m2y1y2 (y1 y2) y1y2OA OB (my1 p2) (my2 p2) pm2 p24p212 p 4，即抛物线 C的方程为 y28 x.346(2018 九江一模)已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1的直线交抛物线于 A、 B两点，若线段 AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2【答案】B【解析】 y22 px(p0)的焦点坐标为 ，过焦点且斜率为 1的直线方程为(p2， 0)y x ，即 x y .将其代入 y22 px，得 y22
5、 py p2，p2 p2即 y22 py p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y22 p， p2.y1 y22抛物线的方程为 y24 x，其准线方程为 x1.7(2018 上饶四校联考)设抛物线 C： y23 px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，|MF|5，若以 MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线 C的方程为( )A y24 x或 y28 xB y22 x或 y28 xC y24 x或 y216 xD y22 x或 y216 x【答案】C【解析】抛物线 C： y23 px(p0)的焦点为 F ，| OF| ，(3p4， 0) 3p4以 MF为直径的圆过点(
6、0,2)，设 A(0,2)，连接 AF， AM，可得 AF AM，在 Rt AOF中，| AF| ，4 9p216sin OAF .|OF|AF|3p44 9p216根据抛物线的定义，得直线 AO切以 MF为直径的圆于点 A， OAF AMF，可得在3Rt AMF中，sin AMF .|AF|MF|3p44 9p216| MF|5，| AF| ，4 9p216 .4 9p21653p44 9p216整理，得 4 ，解得 p 或 p ，9p216 15p4 43 163 C的方程为 y24 x或 y216 x.8(2018 赣州模拟)若点 A的坐标为(3,2)， F是抛物线 y22 x的焦点，点
7、 M在抛物线上移动时，使| MF| MA|取得最小值的 M的坐标为( )A(0,0) B. C(1， ) D(2,2)(12， 1) 2【答案】D【解析】本题考查抛物线的定义，过 M点作左准线的垂线(图略)，垂足是点 N，则|MF| MA| MN| MA|，当 A， M， N三点共线时，| MF| MA|取得最小值，此时M(2,2)二、填空题9(2018 江苏南京月考)已知点 F为抛物线 y24 x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A到其准线的距离为 5，则直线 AF的斜率为_【答案】43【解析】由抛物线定义及题意，得 xA15，解得 xA4.又因为点 A位于第一象限，所以 yA4，所以 k
8、AF .4 04 1 4310(2018 合肥调研)已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆 x2 y26 x70 相切，则 p的值为_【答案】2【解析】抛物线 y22 px(p0)的准线为 x ，p2圆 x2 y26 x70，即( x3) 2 y216，则圆心为(3,0)，半径为 4.又因为抛物线 y22 px(p0)的准线与圆 x2 y26 x70 相切，所以 3 4，解得p2p2.11(2018 山西四校三联)过抛物线 y24 x的焦点 F作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B两点，则弦长| AB|为_4【答案】8【解析】设 A(x1， y1)， B(x2， y2)易得抛物线的焦点
9、是 F(1,0)，所以直线 AB的方程是 y x1.联立Error!消去 y，得 x26 x10，所以 x1 x26.所以| AB| x1 x2 p628.三、解答题12(2018 沈阳模拟)已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线2于 A(x1， y1)， B(x2， y2)(x10)上相异两点， P， Q到 y轴的距离的积为 4，且 0.OP OQ 5(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点 Q的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x轴的交点为 T，且 Q为线段 RT的中点，试求弦 PR长度的最小值【解】(1)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， 0，则
10、x1x2 y1y20.OP OQ 又点 P， Q在抛物线上， y 2 px1， y 2 px2，21 2代入，得 y1y20， y1y24 p2，y212p y22p| x1x2| 4 p2. y1y2 24p2又| x1x2|4，4 p24， p1，抛物线的标准方程为 y22 x.(2)设直线 PQ过点 E(a,0)且方程为 x my a，联立方程组Error!消去 x，得 y22 my2 a0，Error! 设直线 PR与 x轴交于点 M(b,0)，则可设直线 PR的方程为 x ny b，6并设 R(x3， y3)，同理可知Error! 由可得 .y3y2 ba由题意，得 Q为线段 RT的中点， y32 y2. b2 a.又由(1)，知 y1y24，代入，可得2 a4， a2. b4， y1y38.| PR| |y1 y3|1 n2 1 n2 y1 y2 2 4y1y32 4 .1 n2 n2 8 2当 n0，即直线 PR垂直于 x轴时，|PR|取最小值 4 .2
