1、1第 8 章 平面解析几何 第 3 讲A 组 基础关1圆( x2) 2 y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A x2( y2) 25 B( x2) 2 y25C x2( y2) 25 D( x1) 2 y25答案 B解析 因为所求圆的圆心与圆( x2) 2 y25 的圆心(2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 ，故所求圆的方程为( x2) 2 y25.52若 a ，则方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示的圆的个数 2， 0， 1，34为( )A0 B1C2 D3答案 B解析 方程 x2 y2 ax2 ay2 a2 a10 表示圆的条件
2、为 a24 a24(2 a2 a1)0，即 3a24 a40)，则圆的标准方程为( x a)2( y a1) 2 r2，又圆经过点 A(1，1)和点 B(2，2)，故有Error!解得 Error!故该圆的面积是 25.解法二：由题意可知圆心 C 在 AB 的中垂线y ，即 x3 y30 上12 13(x 32)由Error! 解得Error!故圆心 C 为(3，2)，半径 r| AC|5，圆的面积是 25.6点 P(4，2)与圆 x2 y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A( x2) 2( y1) 21 B( x2) 2( y1) 24C( x4) 2( y2) 24 D( x2)
3、2( y1) 21答案 A解析 设圆上任意一点为( x1， y1)，中点为( x， y)，则Error!即Error!代入 x2 y24，得(2 x4) 2(2 y2) 24，化简得( x2) 2( y1) 21.7(2018全国卷)直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点，点 P 在圆(x2) 2 y22 上，则 ABP 面积的取值范围是( )A2,6 B4,8C ，3 D2 ，3 2 2 2 2答案 A解析 直线 x y20 分别与 x 轴， y 轴交于 A， B 两点， A(2,0)， B(0，2)，则| AB|2 .2点 P 在圆( x2) 2 y22 上，圆心为
4、(2,0)，半径为 ，圆心到直线 x y202的距离 d1 2 ，故点 P 到直线 x y20 的距离 d2的范围为 ，3 ，|2 0 2|2 2 2 2则 S ABP |AB|d2 d22,6故选 A.12 28(2018宜昌模拟)已知圆 C： x2 y2 kx2 y k2，当圆 C 的面积取最大值时，圆心 C 的坐标为_3答案 (0，1)解析 圆 C 的方程可化为 2( y1) 2 k21.所以当 k0 时圆 C 的面积最大，(xk2) 34此时圆的方程为 x2( y1) 21，圆心坐标为(0，1)9已知实数 x， y 满足( x2) 2( y3) 21，则|3 x4 y26|的最小值为_
5、答案 15解析 解法一：|3 x4 y26|最小值的几何意义是圆心到直线 3x4 y260 的距离减去半径后的 5 倍，|3 x4 y26| min5 ，( a， b)是圆心坐标， r 是圆的(|3a 4b 26|32 42 r)半径圆的圆心坐标为(2,3)，半径是 1，所以圆心到直线的距离为4，所以|3 x4 y26|的最小值为 5(41)15.|3 2 43 26|5解法二：令 x2cos ， y3sin ，则xcos 2， ysin 3，|3 x4 y26|3cos 64sin 1226|5sin( )20|，其中 tan ，所以其最小值为|520|15.3410在平面直角坐标系内，若曲
6、线 C： x2 y22 ax4 ay5 a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为_答案 (，2)解析 圆 C 的标准方程为( x a)2( y2 a)24，所以圆心为( a,2a)，半径 r2，故由题意知Error!解得 a0， b0)对称，则 的最小1a 3b值是( )A2 B3203C4 D163答案 D解析 由圆 x2 y22 x6 y10 知其标准方程为( x1) 2( y3) 29，圆x2 y22 x6 y10 关于直线 ax by30( a0， b0)对称，该直线经过圆心(1,3)，即 a3 b30， a3 b3( a0， b0)， (a3 b) 1a 3b 1
7、3 (1a 3b) 13(1 3ab 3ba 9) ，当且仅当 ，即 a b 时取等号故选 D.13(10 23ab3ba) 163 3ba 3ab2(2018银川模拟)方程| y|1 表示的曲线是( )1 x 1 2A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆答案 D4解析 由题意知| y|10，则 y1 或 y1，当 y1 时，原方程可化为( x1)2( y1) 21( y1)，其表示以(1,1)为圆心，1 为半径的上半圆；当 y1 时，原方程可化为( x1) 2( y1) 21( y1)，其表示以(1，1)为圆心，1 为半径的下半圆所以方程| y|1 表示的曲线是两个半圆选 D.1 x 1
8、23已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 4 B 12 17C62 D2 17答案 A解析 圆 C1， C2的图形如图所示设 P 是 x 轴上任意一点，则| PM|的最小值为| PC1|1，同理，| PN|的最小值为|PC2|3，则| PM| PN|的最小值为| PC1| PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点 C 1(2，3)，连接 C 1C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，可知| PC1| PC2|的最小值为| C 1C2|
9、，则|PM| PN|的最小值为 5 4.故选 A.24已知 M 为圆 C： x2 y24 x14 y450 上任意一点，且点 Q(2,3)(1)求| MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m， n)，求 的最大值和最小值n 3m 2解 (1)由圆 C： x2 y24 x14 y450，可得(x2) 2( y7) 28，所以圆心 C 的坐标为(2,7)，半径 r2 .2又| QC| 4 2 . 2 2 2 7 3 2 2 2所以点 Q 在圆 C 外，所以| MQ|max4 2 6 ，2 2 2|MQ|min4 2 2 .2 2 2(2)可知 表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3
10、k(x2)，即n 3m 2kx y2 k30，则 k.n 3m 25因为直线 MQ 与圆 C 有交点，所以 2 ，可是 2 k2 ，|2k 7 2k 3|1 k2 2 3 3所以 的最大值为 2 ，最小值为 2 .n 3m 2 3 35在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 ，在 y 轴上截得线2段长为 2 .3(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 y x 的距离为 ，求圆 P 的方程22解 (1)设 P(x， y)，圆 P 的半径为 r，则 y22 r2， x23 r2，所以 y22 x23，即 y2 x21.所以 P 点的轨迹方程为 y2 x21.(2)设 P 的坐标为( x0， y0)，则 ，即|x0 y0|2 22|x0 y0|1.所以 y0 x01.当 y0 x01 时，由 y x 1，得( x01) 2 x 1，所以Error!所以 r23，所以圆20 20 20P 的方程为 x2( y1) 23；当 y0 x01 时，由 y x 1，得( x01) 2 x 1，所以Error!所以 r23，所以圆20 20 20P 的方程为 x2( y1) 23.综上所述，圆 P 的方程为 x2( y1)23.
