1、1第 8章 平面解析几何 第 6讲A组 基础关1(2019唐山统考)“ k25，“ k0， b0)的离心率为 ，则其渐近线方程为( )x2a2 y2b2 3A y x B y x2 3C y x D y x22 32答案 A解析 e ， e21312， .因为该双曲线的渐近ca 3 b2a2 c2 a2a2 ba 2线方程为 y x，所以该双曲线的渐近线方程为 y x，选 A.ba 24与椭圆 y21 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( )x24A. y21 B. y21x24 x22C. 1 D x2 1x23 y23 y22答案 B解析 解法一：椭圆 y21 的焦点坐标是( ，0)
2、x24 32设双曲线方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2因为双曲线过点 P(2,1)，所以 1，又 a2 b23，4a2 1b2解得 a22， b21，所以所求双曲线方程是 y21.x22解法二：设所求双曲线方程为 1(10)的两条渐近线均与圆 C： x2 y24 x30 相切，则该x2a2 y23双曲线的实轴长为( )A3 B6 C9 D12答案 B解析 圆 C的标准方程为( x2) 2 y21，所以圆心坐标为 C(2,0)，半径 r1.双曲线的渐近线为 y x，不妨取 y x，即 bx ay0，因为渐近线与圆 C相切，所以圆心ba ba到渐近线的距离 d 1，所以 3b2 a2
3、.由 1，得 b23，则 a29，所以|2b|a2 b2 x2a2 y232a6.故选 B.6(2019厦门模拟) ABC中， B ， A， B是双曲线 E的左、右焦点，点 C在 E23上，若( ) 0，则 E的离心率为( )BA BC AC A. 1 B. 1 5 3C. D.3 12 3 12答案 D解析 设线段 AC的中点为 D，则 2 ，因为( ) 0，所BA BC BD BA BC AC 以 0，所以 BD AC，所以 AB BC.因为 B(c,0)， BC AB2 c，且 ABC ，所BD AC 23以点 C的坐标为(2 c， c)3代入 1 得 1，所以 1，所以 4e2 1，整
4、理得x2a2 y2b2 4c2a2 3c2b2 4c2a2 3c2c2 a2 31 1e24e48 e210，又 e1，解得 e .3 1237已知双曲线 C： x2 1，经过点 M(2,1)的直线 l交双曲线 C于 A， B两点，且 My24为 AB的中点，则直线 l的方程为( )A8 x y150 B8 x y170C4 x y90 D4 x y70答案 A解析 设 A， B的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则Error!两式相减得 4(x1 x2)(x1 x2)( y1 y2)(y1 y2)0.因为 M(2,1)是线段 AB的中点，所以 x1 x24， y1 y22.所
5、以 16(x1 x2)2( y1 y2)0，所以 kAB 8，y1 y2x1 x2 162故直线 l的方程为 y18( x2)，即 8x y150.8如图所示，椭圆中心在坐标原点， F为左焦点，当 F A 时，其离心率为 ，B B 5 12此类椭圆被称为“黄金椭圆” 类比“黄金椭圆” ，可推算出“黄金双曲线”的离心率 e等于_答案 5 12解析 设“黄金双曲线”方程为 1，x2a2 y2b2则 B(0， b)， F( c,0)， A(a,0)在“黄金双曲线”中，因为 ，所以 0.FB AB FB AB 又 ( c， b)， ( a， b)FB AB 所以 b2 ac.而 b2 c2 a2，所以
6、 c2 a2 ac.在等式两边同除以 a2，得 e .5 129(2019武汉模拟)已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P为双曲线y234右支上一点，则 的最小值为_PA1 PF2 答案 2解析 由题意可知 A1(1,0)， F2(2,0)设 P(x， y)(x1)，则 (1 x， y)， (2 x， y)，PA1 PF2 x2 x2 y2 x2 x23( x21)4 x2 x5.PA1 PF2 因为 x1，函数 f(x)4 x2 x5 的图象的对称轴为 x ，所以当 x1 时， 18 PA1 取得最小值2.PF2 10(2018唐山模拟) P是双曲线 1 右支上一点，
7、F1， F2分别为左、右焦点，x2a2 y2b2且焦距为 2c，则 PF1F2的内切圆圆心的横坐标是_答案 a解析 点 P是双曲线右支上一点，由双曲线的定义，得| PF1| PF2|2 a，若设 PF1F2的内切圆圆心在 x轴上的投影为 A(x,0)，则该点也是内切圆与 x轴的切点设 B， C分别为内切圆与 PF1， PF2的切点由切线长定理，则有| PF1| PF2|(| PB| BF1|)(| PC| CF2|)| BF1| CF2| AF1| F2A|( c x)( c x)2 x2 a，所以 x a.所以内切圆圆心的横坐标为 a.B组 能力关1(2018河南天一大联考)已知双曲线 C：
8、 1( a0， b0)的左、右顶点分别x2a2 y2b2为 A， B，点 F为双曲线 C的左焦点，过点 F作垂直于 x轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线 C于 P， Q两点，连接 PB交 y轴于点 E，连接 AE交 QF于点 M，若 M是线段 QF的中点，则双曲线 C的渐近线方程为( )A y2 x B y x2 5C y3 x D y x6答案 A解析 连接 BQ，则由双曲线的对称性易得 PBF QBF， EAB EBA，所以 EAB QBF，所以 ME BQ，在 PME和 PQB中，有 ，在 BPF和 BEO中，有PEBE PMMQ ，又因为点 M为 QF的中点，所以 e 3， 2 ，所
9、以OFOB PEBE ca OFOB PEBE PMMQ ba c2a2 1 2双曲线 C的渐近线方程为 y x，即 y2 x.ba 252已知双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)，x2a2 y2b2点 A， B是圆( x c)2 y24 c2与双曲线 C位于 x轴上方的两个交点，且|AF2| BF2|53，则双曲线 C的离心率为( )A2 B4 C. D52答案 B解析 如图所示，因为圆( x c)2 y24 c2的圆心是 F1( c，0)，半径 r2 c，所以| AF1| BF1|2 c.由双曲线的定义，得Error!即 Error!解得
10、Error! 因为| AF2| BF2|53，所以 ，左边分子分母同时除以 2a，得2a 2c2c 2a 53 ，即 ，解得 e4.所以双曲线 C的离心率为 4.故选 B.1 2c2a2c2a 1 53 1 ee 1 533过双曲线 x2 1 的右焦点 F作直线 l交双曲线于 A， B两点，若| AB|4，则这y226样的直线 l有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条答案 C解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，当直线 l的斜率不存在时，其方程为 x ，由3Error!得 y2 ，| AB| y1 y2|4 满足题意当直线 l的斜率存在时，其方程为 y k(x )，3由E
11、rror! 得(2 k2)x22 k2x3 k220.3当 2 k20 时， x1 x2 ， x1x2 ，23k2k2 2 3k2 2k2 2|AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 (23k2k2 2)2 12k2 8k2 2 1 k216 k2 1 k2 2 2 4，4 1 k2|k2 2|解得 k ，故这样的直线有 3条故选 C.224.如图， P是双曲线 C： 1( a0， b0)上一点， A1， A2是其左、右顶点，直线x2a2 y2b2PA1交双曲线 C的一条渐近线于点 M，直线 A2M和 A2P斜率分别为 k1， k2，若 A2M PA1，且k14 k20，则双曲
12、线 C的离心率为( )A. B2 C. D452 5答案 A解析 设 P(m， n)，则 1，即 ，m2a2 n2b2 n2m2 a2 b2a2由 A1( a,0)， A2(a,0)， A2M PA1，可得 PA1的斜率为 ，nm a 1k17可得 PA2的斜率为 k2 k1，nm a 14两式相乘可得 ，n2m2 a2 14则 ，即 b a， c a，b2a2 14 12 a2 b2 52即 e .ca 525(2018合肥模拟)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的上焦点为 F， M是双曲线y2a2 x2b2虚轴的一个端点，过 F， M的直线交双曲线的下支于 A点若 M为 AF的中点，且
13、| |6，AF 则双曲线 C的方程为_答案 y2 1x24解析 由题意可得 F(0， c)， M(b,0)，则 A(2b， c)由题意可得Error!解得 a1， b2，所以双曲线 C的方程为 y2 1.x246已知 F是双曲线 C： x2 1 的右焦点， P是 C的左支上一点， A(0,6 )当y28 6APF的周长最小时，该三角形的面积为_答案 12 6解析 如图，设双曲线的左焦点为 F1，由双曲线方程 x2 1，可知 a1， c3，y28故 F(3,0)， F1(3,0)当点 P在双曲线左支上运动时，由双曲线的定义知| PF| PF1|2，所以|PF| PF1|2，从而 APF的周长为|
14、 AP| PF| AF| AP| PF1|2| AF|.因为| AF| 15为定值，32 66 28所以当| AP| PF1|最小时， APF的周长最小，由图象可知，此时点 P在线段 AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线 AF1的方程为 y2 x6 ，6 6由Error!得 y26 y960，6解得 y2 或 y8 (舍去)，6 6所以 S APF S AF1F S PF1F 66 62 12 .12 6 12 6 6C组 素养关1双曲线 C的中心在原点，右焦点为 F ，渐近线方程为 y x.(233， 0) 3(1)求双曲线 C的方程；(2)设直线 l： y kx1 与双曲线 C
15、交于 A， B两点，当 k为何值时，以线段 AB为直径的圆过原点？解 (1)设双曲线的方程是 1( a0， b0)，则由题意得Error!解得Error!故双曲x2a2 y2b2线的方程是 3x2 y21.(2)联立Error!得(3 k2)x22 kx20，由 0且 3 k20，得 b0)，双曲线方程为13x2a2 y2b2 1( m0， n0)，x2m2 y2n2则Error!解得 a7， m3.则 b6， n2.故椭圆方程为 1，x249 y236双曲线方程为 1.x29 y24(2)不妨设 F1， F2分别为左、右焦点， P是第一象限的一个交点，则|PF1| PF2|14，| PF1| PF2|6，所以| PF1|10，| PF2|4.9又| F1F2|2 ，13所以 cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| .102 42 213 22104 45
