1、118.2.1 矩形(第 2 课时)学习目标1.经历探索矩形判定定理的过程,掌握矩形的判定定理 .(重点)2.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题,发展学生的演绎推理能力 .(重点、难点)一、合作探究1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?2.矩形有哪些性质?3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?4.归纳矩形的判定方法(学生进行)(1)定义:是平行四边形,并且有一个角是 . (2)对角线的关系:是平行四边形,并且 . (3)角的关系:是四边形,并且有 个角是直角 . 二、自主学习【例 1】下列各句判定矩形的说法是否正确?(1)有一个角是直角的四边形是矩形; ( )(2
2、)四个角都相等的四边形是矩形; ( )(3)对角线相等的四边形是矩形; ( )(4)两组对边分别平行,且对角线相等的四边形是矩形 . ( )【例 2】已知 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O, AOB 是等边三角形, AB=4 cm,求这个平行四边形的面积 .分析:首先根据 AOB 是等边三角形及平行四边形 对角线互相平分的性质判定出 ABCD 是矩形,再利用勾股定理计算边长,从而得到面积值 .解: 四边形 ABCD 是 AO= ,BO= . AO=BO ,AC=BD. ABCD 是 ( 的平行四边形是矩形) . 在 Rt ABC 中,AB= 4 cm,AC= , BC= (cm).
3、 S= 8 .3三、跟踪练习1.判断题:(1)有四个角是直角的四边形是矩形; ( )(2)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; ( )(3)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; ( )(4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; ( )(5)一组邻边垂直,一组对边平行且相等的四边形是矩形 . ( )2.已知:如图 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 OAD= ODA.求证:四边形 ABCD 是矩形 .23、已知:如图, ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E,F,G,H.求证:四边形 EFGH 是矩形 .四、变式演练1.如图所示,在梯形 ABCD 中, AD BC,
4、B=90,AD=24 cm,BC=26 cm,动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D以 1 cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动 .点 P,Q 分别从点 A 和点 C同时出发,当其中一点到达端点 时,另一点随之停止运动 .(1)经过多长时间,四边形 PQCD 是平行四边形?(2)经过多长时间,四边形 PQBA 是矩形?2.如图, O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, E,F,G,H 分别是 OA,OB,OC,OD 上的点,且 AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形 EFGH 是矩形;(2)若 E,F,G,H 分别是
5、OA,OB,OC,OD 的中点,且 DG AC,OF=2 cm,求矩形 ABCD 的面积 .五、达标检测1.已知下列命题中:(1)矩形是轴对称图形,且有两条对称轴;(2)两条对角线相等的四边形是矩形;(3)有两个角相等的平行四边形是矩形;(4)两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形,其中正确的有( )A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个2.如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是 AD,BD,BC,CA 的中点,若四边形 EFGH 是矩形,则四边形 ABCD需满足的条件是( )A.AB DC B.AC=BDC.AC BD D.AB=DC3.如图,四边形 ABCD 中,
6、 AC=8,BD=6,且 AC BD,连接四边形 ABCD 各边中点得到四边形 EFGH,下列说法不正确的是( )A.四边形 EFGH 是矩形3B.四边形 EFGH 的周长是 7C.四边形 EFGH 的面积是 12D.四边形 ABCD 的面积是 484.如图所示, ABC 绕 AC 的中点 O 顺时针旋转 180得 CDA,添加一个条件 ,使四边形 ABCD 为矩形 . 5.若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形,则原四边形必 须满足的条件是 . 6.用两张对边平行的纸条交叉重叠放在一起,则四边形 ABCD 为 ;两张纸条互相垂直时,四边形ABCD 为 . 7.如图,在矩形 OABC 中
7、, AO=10,AB=8,沿直线 CD 折叠矩形 OABC 的一边 BC,使点 B 落在 OA 边上的点 E 处分别以 OC,OA 所在的直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系 .(1)求点 D,E 的坐标;(2)F 为坐标系内一点,且以 C,D,E,F 为顶点的四边形是平行四边形,则点 F 的坐标为 (直接写出所有的结果); (3)点 P 是 y 轴上一动点,且以 1 个单位 /秒的速度从点 A 向下运动 .设点 P 运动的时间为 t 秒 .求当 t 为多少时, PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?8.如图,在四边形 ABCD 中, AD BC,点 E,F 在边 BC 上, DE AB
8、,AF DC,且 AE DF.(1)AD 与 BC 有何数量关系?请说明理由 .(2)当四边形 ABCD 满足条件 时,四边形 AEFD 是矩形(说明理由) . 49.如图,四边 形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,AO=CO,BO=DO,且 ABC+ ADC=180.(1)求证:四边形 ABCD 是矩形 .(2)若 DF AC, ADF FDC=3 2,则 BDF 的度数是多少?参考答案一、合作探究1.由两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形;有一个角是直角的平行四边形叫矩形,2.矩形四个角都是直角;矩形的对角线相等;并且具有平行四边形的所有性质 .3.矩形是特殊的平行四边形
9、,一般的平行四边形不具有矩形的性质 .4.(1)直 角 (2)对角线相等 (3)三个二、自主学习略三、跟踪练习略四、变式演练1.解:(1)设经过 t s,四边形 PQCD 为平行四边形,即 PD=CQ,所以 24-t=3t,解得 t=6;(2)设经过 ts,四边形 PQBA 为矩形,即 AP=BQ,所以 t=26-3t,解得 t= .1322.分析:(1)证明四边形 EFGH 对角线相等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长 CD 和 BC,然后根据矩形面积公式求得 .(1)证明: 四边形 ABCD 是矩形, OA=OB=OC=OD.AE=BF=CG=DH ,AO-AE=OB-BF=CO-C
10、G=DO-DH ,即OE=OF=OG=OH, 四边形 EFGH 是矩形;(2)解: G 是 OC 的中点, OG AC,CD=OD.F 是 BO 中点, OF=2 cm,BO= 4 cm. 四边形 ABCD 是矩形,DO=BO= 4 cm,DC= 4 cm,DB=8 cm,CB= =4 cm,S 矩形 ABCD=44 =16 (cm2).DB2-DC2 3 3 3五、达标检测1.C 2.A 3.B 4 . B=90 5.对角线互相垂直6.平行四边形;矩形7.解:(1)依题意可知,折痕 CD 是四边形 BCED 的对称轴, 在 Rt COE 中, CE=BC=AO=10,OC=AB=8,OE=
11、6,E (0,6).AE= 10-6=4.在 Rt DAE 中, AE2+AD2=DE2,又 DE=BD ,5AD 2+42=(8-AD)2,AD= 3.D (3,10).(2)(11,4),(-5,16),(5,-10);(3)由(1)可知 BD=5,所以 CD= =5 ,BC2+BD2= 102+52 5 当 PD=CD=5 时, AP= =2 ,5 PD2-AD2= 125-9= 116 29t= 2 ,29 当 PC=CD=5 时, OP= .5 PC2-OC2= 125-64= 61AP=AO-AP= 10- 或 AP=AO+OP=10+ ,61 61t= 10- 或 10+ .61
12、 618.(1)AD= BC.13理由如下:AD BC,AB DE,AF DC,AE DF, 四边形 ABED、四边形 AEFD 和四边形 AFCD 都是平行四边形 .AD=BE=EF=FC ,AD= BC.13(2)AB=CD.理由如下: 四边形 ABED 和四边形 AFCD 都是平行四边形,DE=AB ,AF=DC.AB=DC ,DE=AF ,又 四边形 AEFD是平行四边形, 四边形 AEFD 是矩形 .9.(1)证明: AO=CO ,BO=DO, 四边形 ABCD 是平行四边形, ABC= ADC, ABC+ ADC=180, ABC= ADC=90, 四边形 ABCD 是矩形;(2)解: ADC=90, ADF FDC=3 2, FDC=36,DF AC, DCO=90-36=54, 四边形 ABCD 是矩形,6CO=OD , ODC= DCO=54, BDF= ODC- FDC=18.7
