1、118.2.2 菱形(第 1 课时)学习目标1.知道菱形的定义和它与平行四边形的特殊联系 .2.通过操作,能概括菱形的特殊性质, 会用菱形的性质进行相关的证明、计算 .(重点)3.通过对菱形性质的探究和反思,获得解决问题的经验和方法,养成科学的思维习惯 .(难点)学习过程一、合作探究探究一:定义菱形: 几何语言: 四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB=BC, 四边形 ABCD 是菱形 .探究二:菱形性质1.找出图中菱形边、角、对角线的关系:边 . 角 . 对角线 . 猜想 1(边)验证:已知:四边 形 ABCD 是菱形,求证: AB=BC=CD=AD.证明: 四边形 ABCD 是菱形,AB
2、=AD (菱 形定义),AB=CD,AD=BC(平行四边形的性质),AB=BC=CD=DA.总结:1.菱形的四条边 . 2.几何语言: 四边形是菱形, = = = . 猜想 2(对角线)验证:已知:菱形 ABCD 的对角线相交于点 O,求证:(1) AC BD.2(2)AC 平分 DAB 和 DCB,BD 平分 ADC 和 ABC.证明:(1) 四边形 ABCD 是菱形,AB=AD ,OB=OD,AC BD.(2) 四边形 ABCD 是菱形,AB=AD ,OB=OD,AC BD,AC 平分 BAD.(等腰三角形三线合一)同理可证, AC 平分 BCD,BD 平分 ABC 和 ADC.总结:1.
3、菱形的对角线互相 且 每一组对角 . 2.几何语言 四边形是菱形,AC BD,AC BAD, AC BCD,BD ABC 和 ADC. 探究三:(菱形面积)已知菱形 ABCD,求证: S 菱形 ABCD= ACBD12证明: 四边形 ABCD 是菱形,AC BD,OA=OC,OB=OD.S 菱形 ABCE=4S ABO=4 AOBO12= 2AO2BO12= ACBD.12二、自主练习【例题】(课本):如图,菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m, ABC=60,沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位) .3三、
4、跟踪练习1.若菱形 ABCD,AC=6 cm,BD=8 cm,则菱形的周长 = . 2.若菱形 ABCD, ABC=60,AB=4 cm,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则 BC= ,AC= ,AO= ,BO= ,BD= . 3.(1)若菱形的边长等于一条对角线的长,则它的一组邻角的度数分别为 . (2)已知菱形 ABCD 的周长为 20 cm,且相邻两内角之比是 1 2,则菱形的两条对角线的长为 ,面积是 . 4.在菱形 ABCD 中, D A=3 1,菱形的周长为 8 cm,则菱形的高 5.已知:如图,菱形 ABCD 中, E,F 分别是 CB,CD 上的点,且 BE=DF.求证:
5、AEF= AFE.四、变式演练1.如图,四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形,其中对角线 AC 长 10 cm.求(1)对角线 BD的长度;(2)菱形 ABCD 的面积 .2.(2016吉林中考)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,且 DE AC,AE BD.求证:四边形 AODE 是矩形 .五、 达标检测1.下列性质中,菱形对角线不具有的是( )A.对角线互相垂直B.对角线所在直线是对称轴C.对角线相等D.对角线互相平分42.如图,菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O,若 AC=16,BD=12,则菱形 ABCD 的周长是 ( )A.32 B.24 C.40
6、 D.203.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,且 AC=2,若 AB=2,则 BD 的长为( )A. B.332C.2 D.43 34.如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC=8,DB=6,DH AB 于点 H,则 DH 的长为( )A.4.8 cm B.5 cmC.9.6 cm D.10 cm5.如图, 将边长为 4 的菱形 ABCD 纸片折叠,使点 A 恰好落在对角线的交点 O 处,若折痕EF=2 ,则 A=( )3A.120 B.100 C.60 D.306.如图,菱形 ABCD 中对角线相交于点 O,且 OE AB,若 AC=8,BD=6,则 OE
7、的长是( )A.2.5 B.5 C.2.4 D.不确定7.菱形的周长是 20 cm,那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为 cm. 8.如图,四边形 ABCD 是菱形, AC=16,DB=12,DH AB 于 H,则 DH 等于 . 59.如图,菱形 ABCD 的两条对角线分别长 4 和 6,点 P 是对角线 AC 上的一个动点,点 M,N分别是边 AB,BC 的中点,则 PM+PN 的最小值是 . 10.如图,在 ABCD 中, BC=2AB=4,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点 .(1)求证: ABE CDF;(2)当四边形 AECF 为菱形时,求出该菱形的面积 .11.如图,在菱
8、形 ABCD 中, B=60,AB=1,延长 AD 到点 E,使 DE=AD,延长 CD 到点 F,使DF=CD,连接 AC,CE,EF,AF.(1)求证:四边形 ACEF 是矩形;(2)求四边形 ACEF 的周长 .参考答案一、合作探究略二、自主学习1.解: 花坛 ABCD 的形状是菱形,AC BD, ABO= ABC= 60=30,12 12在 Rt OAB 中,AO= AB= 20=10 m,12 12BO= =10 m,AB2-AO2= 202-102 3 花坛的两条小路长 AC=2AO=20(m),BD=2BO=20 34 .64(m).3花坛的面积S 菱形 ABCD=4S OAB=
9、 ACBD=200 346 .4(m2)12 36三、跟踪练习1.20 cm 2.4cm;4cm;2cm;2 cm;4 cm3 33.(1)60,120(2)5,5 3;252 34. 25.证明: ABCD 是菱形,AB=AD , B= D.又 EB=DF , ABE ADF,AE=AF , AEF= AFE.四、变式演练1.解:(1) 四边形 ABCD 为菱形, AED=90,AE= AC= 10=5 (cm),12 12AE= =12 (cm),AD2-AE2= 132-52BD= 2DE=212=24 (cm);(2)S 菱形 ABCD= ACBD12= 102412=120(cm2)
10、.2.证明: 四边形 ABCD 是菱形, AC BD, AOD=90.DE AC,AE BD, 四边形 AODE 是平行四边形, AODE 是矩形 .五、达标检测1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C7.2.58.4859. 1310.(1)证明:在 ABCD 中, AB=CD,BC=AD, ABC= CDA.E,F 为中点,BE=EC= BC,AF=DF= AD,12 12BE=DF. ABE CDF.(2)解: 四边形 AECF 为菱形,AE=EC.7又 点 E 是边 BC 的中点,BE=EC ,即 BE=AE.又 BC=2AB=4,AB= BC=BE,12AB=BE=AE ,即 ABE 为等边三角形,如图,过点 A 作 AH BC 于 H,BH= BE=1,12根据勾股定理得, AH= 3 菱形 AECF 的面积为 2 .311.(1)证明 DE=AD ,DF=CD, 四边形 ACEF 是平行四边形, 四边形 ABCD 为菱形,AD=CD ,AE=CF , 四边形 ACEF 是矩形;(2)解: B=60, ABC, ACD 是等边三角形,AC=AD=CD=AB= 1, 四边形 ACEF 为矩形,EF=AC= 1,AE=CF=2,AF=CE= ,22-12= 3 四边形 ACEF 的周长为 AC+CE+EF+AF=1+ +1+ =2+2 .3 3 3
