1、- 1 -第一章 统计案例测评(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知下面的 22 列联表:y1 y2 总计x1 a b 73x2 22 c 47总计 74 46 120则 a+b+c 等于( )A.96 B.97C.98 D.99解析: 根据表中的数据,可得 a+b+c+22=120,所以 a+b+c=120-22=98.答案: C2.在线性回归模型 y=bx+a+ 中,下列说法正确的是( )A.y=bx+a+ 是一次函数B.因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的C.因变量 y 除了受自变量 x 的影响外,可能还受到其他
2、因素的影响,这些因素会导致随机误差 的产生D.随机误差 是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差 的产生解析: 线性回归模型 y=bx+a+ ,反映了变量 x,y 间的一种线性关系,预报变量 y 除受解释变量x 影响外,还受其他因素的影响,用 来表示,故 C 正确 .答案: C3.已知某种产品的支出广告额 x(单位:万元)与利润额 y(单位:万元)之间有如下对应数据:x 3 4 5 6 7y 20 30 30 40 60则回归直线必过点( )A.(5,36) B.(5,35)C.(5,30) D.(4,30)解析: 由题意可知回归直线方程必过样本点的中心 ,即(5,36) .答案:
3、 A4.2016 法国欧洲杯比赛于 6 月中旬揭开战幕,随机询问 100 人是否喜欢足球,得到如下的22 列联表:喜欢足球 不喜欢足球 总 计男 35 15 50女 25 25 50总 计 60 40 100临界值表:P(K2 k0) 0.05 0.025 0.010- 2 -k0 3.841 5.024 6.635参照临界值表,下列结论正确的是( )A.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别有关系”B.有 95%的把握认为“喜欢足球与性别没有关系”C.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别没有关系”D.在犯错误的概率不超过 2.5%的前提下,认为“喜欢足球与性别有关系”解
4、析: 由题意 K2= 4 .173.841,由于 P(K23 .841)0 .05,所以有 95%的把握认为“喜欢足球与性别有关系” .答案: A5.若两个分类变量 x 和 y 的列联表为:y1 y2 合 计x1 10 45 55x2 20 30 50合 计 30 75 105则 x 与 y 之间有关系的可能性为( )A.0.1% B.99.9% C.97.5% D.0.25%解析: 代入公式 K2= 6 .115.024,查表可得, P(K25 .024)=0.025,1-0.025=97.5%,故 x 与 y 之间有关系的可能性为 97.5%.答案: C6.已知方程 =0.85x-85.7
5、 是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中 x, 的单位分别是 cm,kg,则该方程在样本(165,57)处的残差是( )A.54.55 B.2.45 C.-2.45 D.111.55解析: 该方程在样本(165,57)处的残差为 57-(0.85165-85.7)=2.45.答案: B7.已知具有线性相关的两个变量 x,y 之间的一组数据如下表所示:x 0 1 2 3 4y 2.2 4.3 t 4.8 6.7且回归方程是 =0.95x+2.6,则 t=( )A.4.7 B.4.6C.4.5 D.4.4解析: 因为 (0+1+2+3+4)=2, (2.2+4.3+t+4.8+6.7)= ,
6、代入回归方程 =0.95x+2.6,得 t=4.5.答案: C8.甲、乙、丙、丁四名同学在建立变量 x,y 的回归模型时,分别选择了 4 种不同的模型,计算得到了它们的残差平方和分别如下表:- 3 -甲 乙 丙 丁残差平方和 40.65 52.76 39.05 47.88则建立回归模型拟合效果最好的同学是( )A.甲 B.乙C.丙 D.丁解析: 残差平方和越小,相关指数越大,拟合效果越好,所以丙同学的模型拟合效果最好 .答案: C9.为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价 x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量 y/件 90 84
7、83 80 75 68若计算得到的线性回归方程为 x+250,则 等于 ( )A.20 B.30C.-20 D.-30解析: 由题意得 =8.5, =80,因为 +250,所以 80=8.5 +250,解得 =-20.答案: C10.根据一组实验数据(1,3 .3),(2,5.4),(3,8.8),(4,10.5),(5,16.5)得到的线性回归方程为=3x-0.5,则残差平方和等于( )A.5.74 B.27.7C.1.15 D.115解析: 残差平方和 =(3.3-2.5)2+(5.4-5.5)2+(8.8-8.5)2+(10.5-11.5)2+(16.5-14.5)2=5.74.答案:
8、A11.已知变量 x,y 之间的线性回归方程为 =-0.7x+10.3,且变量 x,y 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )x 6 8 10 12y 6 m 3 2A.变量 x,y 之间呈现负相关关系B.m=4C.可以预测,当 x=11 时, y=2.6D.由表格数据知该回归直线必过点(9,4)解析: 因为 =9, =-0.79+10.3=4,所以 =4,所以 m=5.答案: B12. 导学号 40294004 已知两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为 x1,x2和y1,y2,其样本频数分别是 a=10,b=21,c+d=35,若“ X 和 Y 有关系”的可信程度为 9
9、0%,则 c 等于( )- 4 -A.4 B.5C.6 D.7解析: 由 a=10,b=21,c+d=35,可得 n=66,d=35-c,a+b=31,a+c=10+c,b+d=56-c,ad=10(35-c),bc=21c.由于“ X 和 Y 有关系”的可信度为 90%,则随机变量 K2的观测值 3.841k2.706,得3.841 2.706,代入检验,得 c=5 符合题意 .答案: B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.关于统计量 K2的判断中,有以下几种说法:K 2在任何问题中都可以用来检验两个变量有关系还是没有关系;K 2的值越大,两个分类变量的相关性
10、就越大;K 2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量,当 K2的值很小时,可以判定两个分类变量不相关 .其中说法正确的是 . 解析: K2只适用于 22 列联表问题,故 错误; K2的值越大,两个事件的相关性就越大,故 正确;当 K2的值很小时,只能说明两个变量的相关程度低,不能判定两个分类变量不相关,故 错误 .答案: 14.根据如下样本数据:x 3 4 5 6 7y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0得到的回归方程为 x+ ,若 =7.9,则 x 每增加 1 个单位, y 就平均 个单位 . 解析: 由题表中数据可得 =5, =0.9,因为 x+ 一定经过点(5,0 .9),所
11、以 0.9=5 +7.9,可得 =-1.4,因此 x 每增加 1 个单位, y 就平均减少 1.4 个单位 .答案: 减少 1.415.独立性检验显示:在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关系 .则下列说法正确的是 . 在 100 名男性中约有 90 人爱喝酒; 若某人爱喝酒,那么此人为男性的可能性为 90%; 认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性为 10%; 有 90%的把握认为 10 名男性中有 9 人爱喝酒 .解析: 独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断 .答案: 16.某种产品的广告费支出 x(单位:万元)与销售额 y(单位:万元)之间有如下
12、的对应数据:x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70已知 y 与 x 之间具有线性相关关系,若实际销售额不低于 82.5 万元,则广告费支出最少是 万元 . - 5 -解析: 由题表中数据可得 y 关于 x 的回归直线方程为 =6.5x+17.5,令 6.5x+17.582 .5,得x10,故广告费支出最少是 10 万元 .答案: 10三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了 339 名 50 岁以上的人,调查结果如下表所示:患慢性气管炎 未患慢性气管炎 总计吸烟 43 162 205不吸烟 13 12
13、1 134总计 56 283 339能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为 50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系?解: 由 22 列联表可知 a=43,b=162,c=13,d=121,a+b=205,c+d=134,a+c=56,b+d=283,n=a+b+c+d=339,代入公式得 K2的观测值为k= 7 .469.因为 7.4696.635,所以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为 50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系 .18.(本小题满分 12 分)某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:x 6 8 10 12y 2 3 5
14、 6(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 x+ .解: (1)散点图如下:(2)由于 =9, =4,xiyi=62+83+105+126=158,=62+82+102+122=344,=0.7, =4-0.79=-2.3,故线性回归方程为 y=0.7x-2.3.- 6 -19.(本小题满分 12 分)网购已成为当今消费者最喜欢的购物方式之一,某机构对 A,B,C,D 四家同类运动服装网店的关注人数 x(单位:千人)与其商品销售件数 y(单位:百件)进行统计对比,得到表格:网店名称 A B C Dx 3 4 6 7y 11 12 20 17
15、由散点图得知,可以用线性回归方程 x+ 来近似刻画它们之间的关系 .(1)试建立 y 关于 x 的回归方程;(2)在(1)的回归模型中,请用 R2说明销售件数的差异有多大程度是由关注人数引起的 .(精确到 0.01)解: (1)由表中数据可得 =5, =15, xiyi=320, =110,=2,所以 =15-25=5,故线性回归方程为 =2x+5.(2) (yi- )2=54, (yi- )2=14,R2=1- =1- =0.74,说明销售件数的差异有 74%是由关注人数引起的 .20.(本小题满分 12 分)某机构为了解某地区中学生在校月消费情况,随机抽取了 100 名中学生进行调查 .下
16、图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图 .已知350,450),450,550),550,650)三个金额段的学生人数成等差数列,将月消费金额不低于550 元的学生称为“高消费群” .(1)求 m,n 的值,并求这 100 名学生月消费金额的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)根据已知条件完成下面 22 列联表,并判断能否有 90%的把握认为“高消费群”与性别有关系 .高消费群 非高消费群 合计男女 10 50合计- 7 -解: (1)由题意知 100(m+n)=0.6,且 2m=n+0.001 5,解得 m=0.002 5,n=0.003 5,所
17、求平均数为 =3000.15+4000.35+5000.25+6000.15+7000.10=470(元) .(2)根据频率分布直方图得到如下 22 列联表:高消费群 非高消费群 合计男 15 35 50女 10 40 50合计 25 75 100根据上表数据代入公式可得 K2= 1 .332.706.所以没有 90%的把握认为“高消费群”与性别有关系 .21. 导学号 40294005(本小题满分 12 分)二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0x10)与销售价格 y(单位:万元 /辆)进行整理,得到如表的对应数据:使用年数 2 4 6 8 10售价 16 13 9.
18、5 7 4.5(1)试求 y 关于 x 的回归直线方程;(2)已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0.05x2-1.75x+17.2(单位:万元),根据(1)中所求的回归方程,预测当 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大?解: (1)由表中数据得 (2+4+6+8+10)=6, (16+13+9.5+7+4.5)=10,由最小二乘法求得=-1.45,=10-(-1.45)6=18.7,所以 y 关于 x 的回归直线方程为 =-1.45x+18.7.(2)根据题意,利润函数为 z=y-w=(-1.45x+18.7)-(0.05x2-1.75x+17.2)=-0.05x2+0
19、.3x+1.5,所以当 x=- =3 时,二次函数 z 取得最大值;即预测 x=3 时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大 .22.(本小题满分 12 分)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查,根据调查得到的数据,所绘制的条形图如下图所示 .- 8 -(1)根据图中数据,制作 22 列联表;(2)若要采用分层抽样的方法从男生中共抽取 5 名候选人,再从 5 人中选两人分别做文体活动协调人,求选出的两人恰好是一人爱好文娱,另一人爱好体育的学生的概率;(3)能否认为性别与是否爱好体育有关系?解: (1)根据图中数据,作出 22 列联表:爱好体育 爱好文娱 合 计男生 15 10 25女生 5 10 15合计 20 20 40(2)要采用分层抽样的方法从男生中共抽取 5 名候选人,得到 5 人中有 3 人爱好体育,2 人爱好文娱,再从 5 人中选两人分别做文体活动协调人,恰好是一人爱好文娱,另一人爱好体育的概率是 P= .(3)K2= 2 .666 72.706,所以我们没有足够的把握认为性别与是否爱好体育有关系 .
