1、- 1 -5 二项式定理A组1.(x+2)n的展开式共有 12项,则 n等于( )A.9 B.10C.11 D.8解析: (a+b)n的展开式共有 n+1项,而( x+2)n的展开式共有 12项, n= 11.故选 C.答案:C2. 的展开式中 x2y3的系数是( )A.-20 B.-5C.5 D.20解析:由已知,得 Tr+1= (-2y)r= (-2)rx5-ryr(0 r5, rZ),令 r=3,得 T4= (-2)3x2y3=-20x2y3.故选 A.答案:A3.在(1 +x)6(1+y)4的展开式中,记 xmyn项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+
2、f(0,3)=( )A.45 B.60C.120 D.210解析: (1+x)6展开式的通项公式为 Tr+1= xr,(1+y)4展开式的通项公式为 Th+1= yh, (1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为 xryh.f (m,n)= .f (3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)= =20+60+36+4=120.故选 C.答案:C4.已知 展开式的第 4项等于 5,则 x等于( )A. B.- C.7 D.-7- 2 -解析: T4= x4 =- x=-35x=5,所以 x=- .答案:B5.(2- )8的展开式中不含 x4项的系数的和为( )A.-1 B.0 C.1 D
3、.2解析:采用赋值法,令 x=1,得(2 - )8的展开式的系数和为 1,x4项系数为 20(-1)8=1,所以(2 -)8的展开式中不含 x4项的系数和为 0.答案:B6.设 a= sin xdx,则二项式 的展开式中的常数项等于 . 解析: a= sin xdx=(-cos x) =2,二项式 展开式的通项为Tr+1= (2 =(-1)r26-r x3-r,令 3-r=0得, r=3, 常数项为( -1)323 =-160.答案: -1607.已知(2 x-3)7=a0(x-1)7+a1(x-1)6+a6(x-1)+a7.(1)求 a0+a1+a2+a7;(2)求 a0-a7.解(1)令
4、x=2,得 a0+a1+a2+a7=(4-3)7=1.(2)令 x=1,得 a7=(21-3)7=-1,x7的系数 a0= 27(-3)0=128,a 0-a7=129.8.(1)求(1 +2x)7的展开式中第四项的系数;(2)求 的展开式中 x3的系数及二项式系数 .解(1)(1 +2x)7的展开式的第 4项为T3+1= (2x)3=280x3, (1+2x)7的展开式中第四项的系数是 280.(2) 的展开式的通项为- 3 -Tr+1= x9-r =(-1)r x9-2r.令 9-2r=3,r=3,x 3的系数为( -1)3 =-84.x3的二项式系数为 =84.9.在 的展开式中,求:(
5、1)第 5项的二项式系数及第 5项的系数;(2)倒数第 3项 .解(1)二项式 展开式的通项为 Tr+1= (2x2)8-r ,所以 T5= (2x2)8-424 ,则第 5项的二项式系数是 =70,第 5项的系数是 24=1 120.(2)展开式中的倒数第 3项即为第 7项, T7= (2x2)8-6 =112x2.B组1.若(1 + )5=a+b (a,b为有理数),则 a+b等于 ( )A.45 B.55C.70 D.80解析:由二项式定理得(1 + )5=1+ ( )2+ ( )3+ ( )4+ ( )5=1+5+20+20 +20+4 =41+29 ,即 a=41,b=29,所以 a
6、+b=70.答案:C2.(2016江西临川一中等九校联考)二项式 的展开式的第二项的系数为 - ,则x2dx的值为 ( )A. B.3- 4 -C.3或 D.3或 -解析:二项展开式的第二项 T2= (ax)5 ,则由题意有 a5=- ,解得 a=-1,所以x2dx= x3 =- .答案:A3.(2016河南郑州一中联考)若在 的展开式中含有常数项,则正整数 n取得最小值时的常数项为 ( )A.- B.-135 C. D.135解析: 的展开式的通项为 Tr+1= (3x2)n-r 3n-r x2n-5r,展开式中含有常数项需满足 2n-5r=0,即 n= ,rN .所以当 r=2时,正整数
7、n取得最小值为 n=5,此时常数项为 ,故选 C.答案:C4.(x2+2) 的展开式中的常数项是( )A.2 B.3 C.-2 D.-3解析:二项式 的展开式的通项为 Tr+1= (-1)r= (-1)rx2r-10,易知( x2+2)的展开式中的常数项为 (-1)4+2 (-1)5=3.答案:B5.若 的展开式中 x3项的系数为 20,则 a2+b2的最小值为 . 解析: 的展开式的通项为 Tr+1= (ax2)6-r a6-rbrx12-3r,- 5 -令 12-3r=3,得 r=3.由 a6-rbr= a3b3=20,得 ab=1.所以 a2+b22 ab=21=2.答案:26.求 的展
8、开式中的有理项 .解 的展开式的通项为 Tr+1= )8-r (r=0,1,2,8),为使为有理项, r必须是 4的倍数,所以 r=0,4,8,故共有 3个有理项,分别是T1= x4=x4,T5= x= x,T9= x-2= .7.导学号 43944018已知 的展开式中偶数项的二项式系数的和比( a+b 展开式中奇数项的二项式系数的和小 120,求第一个展开式的第三项 .解( a+b)2n展开式中奇数项的二项式系数的和为 22n-1, 展开式中偶数项的二项式系数的和为 2n-1.依题意,有 2n-1=22n-1-120,即(2 n)2-2n-240=0.解得 2n=16,或 2n=-15(舍) .n= 4.于是,第一个展开式中第三项为T3= )2 =6 .- 6 -
