1、- 1 -4 导数的四则运算法则A 组1.若 f(x)= ,则 f(-1)=( )A. B.- C. D.-解析:因为 f(x)= ,所以 f(x)=- ,所以 f(-1)=- (-1 =- .答案:D2.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f(-1)=4,则 a 的值是 ( )A. B. C. D.解析:因为 f(x)=3ax2+6x,所以 f(-1)=3a-6,所以 3a-6=4,故 a= .答案:D3.已知点 P 在曲线 y=2sin cos 上, 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 的取值范围是( )A. B.C. D.解析: y= 2sin cos =sin x,y= cos
2、x.设 P(x0,y0),由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点 P 处的切线的斜率为 tan = cos x0,- 1tan 1 . 0 0) B.C. D.- 4 -解析: f(x)= ,f (x)= .答案:C3.函数 f(x)的导函数为 f(x),且满足 f(x)=2xf(e)+ln x,则 f(e)等于( )A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e解析: f (x)=2xf(e)+ln x,f (x)=2f(e)+ ,f (e)=2f(e)+ ,解得 f(e)=- ,故选 C.答案:C4.若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0, m)处有公切线
3、,则 a+b= . 解析: f(x)=-asin x,g(x)=2x+b, 曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0, m)处有公切线, f (0)=a=g(0)=1,且 f(0)=0=g(0)=b,a+b= 1.答案:15. 导学号 01844037 已知曲线 C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线 C 外一点 A(1,0)引曲线 C 的两条切线,它们的倾斜角互补,则 a 的值为 . 解析:函数 f(x)的导数 f(x)=3x2-a.过直线外 A(1,0)作曲线 C 的切线 .设切点( x0,f(x0),则切线方程为 y=(3 -a)(x-1),将( x0,
4、f(x0)代入得 f(x0)= -ax0+a,即 2 -3 =0,解得 x0=0 或 x0= .故满足条件的切线有两条,且它们的斜率分别为 -a 与 -a.因为两条切线的倾斜角互补,所以 -a+ -a=0,- 5 -故 a= .答案:6.求下列函数的导数 .(1)y= ;(2)y=-sin .解(1) y= -2,y= = .(2)y=-sin cos =- sin x,y= =- cos x.7. 导学号 01844038 已知函数 f(x)=x3+x-16.(1)求曲线 y=f(x)在点(2, -6)处的切线的方程;(2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程
5、及切点坐标;(3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程 .解(1) f (x)=3x2+1,f (x)在点(2, -6)处的切线的斜率为 k=f(2)=13. 切线的方程为 13x-y-32=0.(2)解法一:设切点为( x0,y0),则直线 l 的斜率为 f(x0)=3 +1, 直线 l 的方程为 y=(3 +1)(x-x0)+ +x0-16,又 直线 l 过原点(0,0),- 6 - 0=(3 +1)(-x0)+ +x0-16,整理得, =-8,x 0=-2,y 0=-26,k=13. 直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为( -2,-26).解法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为( x0,y0),则 k= ,又 k=f (x0)=3 +1, =3 +1,解得 x0=-2,y 0=-26,k=13. 直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为( -2,-26).(3) 切线与直线 y=- +3 垂直, 切线的斜率 k=4.设切点坐标为( x0,y0),则 f(x0)=3 +1=4,x 0=1, 切点坐标为(1, -14)或( -1,-18),切线方程为 y=4x-18 或 y=4x-14,即 4x-y-18=0 或 4x-y-14=0.
