1、- 1 -2.1 抛物线及其标准方程课后训练案巩固提升A 组1.抛物线 y2=4x 的焦点坐标为( )A.(0,1) B.(1,0)C.(0,2) D.(2,0)解析:(直接计算法)因为 p=2,所以抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),应选 B.答案:B2.抛物线 y2=24ax(a0)上有一点 M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为( )A.y2=8x B.y2=12xC.y2=16x D.y2=20x解析:由题意知,3 +6a=5,a= , 抛物线方程为 y2=8x.答案:A3.抛物线 x2= y 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 到 x 轴的距离是
2、( )A. B. C.1 D.解析:由准线方程为 y=- ,可知 M 到准线的距离为 1, 点 M 到 x 轴的距离等于 1- .答案:D4.若点 A 的坐标为(3,2), F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使 |PA|+|PF|取得最小值,则点 P 的坐标是( )A. B.(2,2) C.(1, ) D.(0,0)解析:如图,作 PH y 轴,交抛物线准线于 H,则 |PA|+|PF|=|PA|+|PH| |AH|, 当 H,P,A 三点共线时, |PA|+|PF|最小,此时,点 P 的纵坐标为 2,故选 B.答案:B5.抛物线 y2=2px(p0)上有 A(x1,
3、y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点, F 是焦点, |AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )A.x1,x2,x3成等差数列 B.x1,x3,x2成等差数列C.y1,y2,y3成等差数列 D.y1,y3,y2成等差数列解析:由定义,知 |AF|=x1+ ,|BF|=x2+ ,|CF|=x3+ .|AF| ,|BF|,|CF|成等差数列, 2 ,- 2 -即 2x2=x1+x3.故选 A.答案:A6.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若 OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( )A.y2=4x B.y2=8
4、xC.y2=4x D.y2=8x解析:由已知可得抛物线 y2=ax 的焦点 F 的坐标为 .过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y=2,令 x=0 得 y=- ,故点 A 的坐标为 .由题意可得 =4,a 2=64,a= 8.答案:B7.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, |AF|=2,则 |BF|= . 解析:设点 A 的坐标为( x,y).因为 |AF|=2,所以 x-(-1)=2,所以 x=1.所以 A(1,2).又点 F 的坐标为(1,0),所以 |BF|=|AF|=2.答案:28.在平面直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1).若线段 OA
5、的垂直平分线过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 . 解析: OA 的垂直平分线交 x 轴于点 ,此为抛物线的焦点,故准线方程为 x=- .答案: x=-9. 导学号 90074066 若点 P 到点(1,0)的距离比到直线 x+2=0 的距离小 1,则点P 的轨迹方程是 . 解析:(方法 1)设点 P 的坐标为( x,y),由题意得 +1=|x+2|, =|x+2|-1=x+1.两边平方得( x-1)2+y2=(x+1)2,x 2-2x+1+y2=x2+2x+1,y 2=4x, 点 P 的轨迹方程为 y2=4x.(方法 2)由题意可知,点 P 到点(1,0)的距离比到
6、直线 x+2=0 的距离小 1, 点 P 到点(1,0)与到 x+1=0 的距离相等 .故点 P 的轨迹是以(1,0)为焦点, x+1=0 为准线的抛物线,其方程为 y2=4x.答案: y2=4x10.求满足下列条件的抛物线的标准方程 .(1)焦点在直线 3x+4y-12=0 上;(2)焦点是( -2,0);(3)准线是 y=- ;- 3 -(4)焦点到准线的距离是 2;(5)焦点到直线 x=-5 的距离是 8.解(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:焦点为(4,0)时, =4,p= 8, 方程为 y2=16x;焦点为(0,3)时, =3,p= 6, 方程为 x
7、2=12y.故所求方程为 y2=16x 或 x2=12y.(2)焦点为( -2,0), =2,p= 4, 方程为 y2=-8x.(3)准线为 y=- , ,p= 3,开口向上, 方程为 x2=6y.(4)由于 p=2,开口方向不确定,故有四种情况 . 方程为 y2=4x 或 y2=-4x 或 x2=4y 或 x2=-4y.(5)焦点在 x 轴上,设为( x0,0),|x 0+5|=8,x 0=3 或 x0=-13, 焦点为(3,0)或( -13,0), =3 或 -13,p= 6 或 -26. 方程为 y2=12x 或 y2=-52x.B 组1.若点 P 在抛物线 y2=x 上,点 Q 在圆(
8、 x-3)2+y2=1 上,则 |PQ|的最小值为( )A. B. +1 C. -1 D.1解析:如图所示,设已知圆圆心为 C,则 |PQ|min=|PC|min-1.设 P(x,y),则有 |PC|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x=x2-5x+9= ,|PC| min= ,即 |PQ|min= -1.答案:C- 4 -2.设 x1,x2R,常数 a0,定义运算“ *”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若 x0,则动点 P(x, )的轨迹方程是 . 解析:由 y= ,得 y2=x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax(y0) .答案: y2=4ax(y0)3.已知点
9、M(-2,4)及焦点为 F 的抛物线 y= x2,在抛物线上求一点 P,使得 |PM|+|PF|的值最小,并求出最小值 .解抛物线的方程可化为 x2=8y,其焦点为 F(0,2),准线为 y=-2,将 x=-2 代入抛物线方程,得 y= ,因为点 M 的纵坐标 4 ,所以点 M 在抛物线的上侧,如图所示,设点 P 到准线的距离为 d,则由抛物线的定义,得 |PF|=d,所以 |PM|+|PF|=|PM|+d,通过观察易得,当点 P 和点 M 的横坐标相同时, |PM|+d 最小,此时点 P 的坐标为 ,最小值为 4-(-2)=6.4.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶 5 m 时,水面宽 8
10、 m,一木船宽 4 m,高 2 m,载货后此船露在水面上的部分高为 m,问:水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p0),由题意知,点 A(4,-5)在抛物线上(设 AA为水面宽,且 AA=8 m),所以 16=-2p(-5),2p= ,所以抛物线方程为 x2=- y(-4 x4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于 B,B(B与 B 关于 y轴对称)时,船开始不能通航,设 B 点坐标为(2, y),由 22=- y,得 y=- ,此时水面与抛物线拱顶相距 |y|+ =2(m).故水面上涨到与拱顶相距
11、 2 m 时,船开始不能通航 .5. 导学号 90074067 如图, AB 为抛物线 y=x2上的动弦,且 |AB|=a(a 为常数,且a1),求弦 AB 的中点 M 与 x 轴的最近距离 .- 5 -解设点 A,M,B 的纵坐标分别为 y1,y2,y3.A,M,B 三点在抛物线准线上的射影分别为A,M,B(如图) .由抛物线的定义,得|AF|=|AA|=y1+ =y1+ ,|BF|=|BB|=y3+ =y3+ ,y 1=|AF|- ,y3=|BF|- .又 M 是线段 AB 的中点,y 2= (y1+y3)= .等号在 AB 过焦点 F 时成立,即当定长为 a 的弦 AB 过焦点 F 时, M 点与 x 轴的距离最小,最小值为 .
