1、- 1 -3.2 双曲线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知双曲线 =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )A. B. C. D.解析: c= 3,a2+5=9,a= 2.故 e= .答案:C2.设双曲线 =1(a0)的渐近线方程 3x2y=0,则 a的值为( )A.4 B.3 C.2 D.1解析:双曲线 =1的渐近线方程为 3xay=0,与已知方程比较系数得 a=2.答案:C3.中心在原点,焦点在 x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4, -2),则它的离心率为( )A. B. C. D.解析: ,e= .答案:D4.已知双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C:x2
2、+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆 C的圆心,则该双曲线的方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bxay=0,根据已知得=2,即 =2,解得 b=2,则 a2=5,故所求的双曲线方程是 =1.故选 A.- 2 -答案:A5.已知双曲线 =1(b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( ,y0)在该双曲线上,则 =( )A.-12 B.-2 C.0 D.4解析: y=x 为渐近线方程,则 b=2,即双曲线方程为 x2-y2=2.当 x= 时, =1.又双曲线的半焦距为
3、 2, =(-2- ,-y0)(2- ,-y0)=-1+ =-1+1=0.故选 C.答案:C6. 导学号 90074078 设 F1,F2分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右焦点 .若在双曲线右支上存在点 P,满足 |PF2|=|F1F2|,且 F2到直线 PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A.3x4y=0 B.3x5y=0C.4x3y=0 D.5x4y=0解析:如图,由题意得 |PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在 PF2M中, |PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而 |PM|= |PF1|.又 |PF 1|-|PF2|=2a,|PF 1|=
4、2a+2c,即 |PM|=a+c.|PF 2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又 c2=a2+b2, , 渐近线方程为 y= x,即 4x3y=0.答案:C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为 5 4,则双曲线的标准方程是 . 解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x轴上,且 a=3,焦距与虚轴长之比为 5 4,即 cb= 5 4.又 c2=a2+b2,解得 c=5,b=4,所以双曲线的标准方程是 =1.- 3 -答案: =18.若双曲线的渐近线方程为 y=3x,它的一个焦点是( ,0),则双曲线的方程是 .解析:由题
5、意,得 c= =3,由此解得 b=3,a=1,故所求双曲线的方程是 x2- =1.答案: x2- =19.已知双曲线 =1的离心率为 2,焦点与椭圆 =1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 . 解析:椭圆 =1的焦点坐标为( -4,0),(4,0), 双曲线的焦点坐标为( -4,0),(4,0),在双曲线 =1中, c=4,e=2,a= 2.b= 2. 渐近线方程为 xy=0.答案:( 4,0) xy=010.求适合下列条件的双曲线的标准方程 .(1)虚轴长为 12,离心率为 ;(2)两顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y= x;(3)求与双曲线 x2-2y2=2有公共渐近线,
6、且过点 M(2,-2)的双曲线方程 .解(1)设双曲线的标准方程为 =1或 =1(a0,b0).由题意,知 2b=12, ,且 c2=a2+b2,b= 6,c=10,a=8. 双曲线的标准方程为 =1或 =1.(2)设以 y= x为渐近线的双曲线方程为 = ( 0) .- 4 -当 0时, a2=4 , 2a=2 =6.= .当 0,b0)的左焦点且垂直于 x轴的直线与双曲线相交于 M,N两点,以 MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 B,则双曲线的离心率等于 . 解析:因为以 MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以 F1是圆心,半径 |MF1|=|F1B|=a+c.由左焦点 F1(-c,0)
7、,知点 M(-c,a+c),将点 M的坐标代入双曲线方程得 =1,从而 a2(a+c)2=b4,开方得 a(a+c)=b2,可得 c2-ac-2a2=0,即 e2-e-2=0,解得 e=2或 e=-1(舍去) .答案:24.设双曲线 C: -y2=1(a0)与直线 l:x+y=1相交于两个不同的点 A,B.求双曲线 C的离心率 e的取值范围 .解由 C与 l相交于两个不同的点,故知方程组 有两个不同的实数解 .消去 y并整理得(1 -a2)x2+2a2x-2a2=0. 解得 a(0,1)(1, ),双曲线的离心率为 e= ,a (0,1)(1, ),e ( ,+ ),即离心率取值范围为( ,+
8、 ).5. 导学号 90074079 过双曲线 =1的右焦点 F2且倾斜角为 30的直线交双曲线于 A,B两点, O为坐标原点, F1为左焦点 .(1)求 |AB|;(2)求 AOB的面积;(3)求证: |AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.(1)解由双曲线的方程得 a= ,b= ,c= =3,F1(-3,0),F2(3,0),直线 AB的方程为y= (x-3).- 6 -设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 5x2+6x-27=0,x 1+x2=- ,x1x2=- ,|AB|= |x1-x2|= .(2)解直线 AB的方程变形为 x- y-3=0. 原点 O到直线 AB的距离为 d= .S AOB= |AB|d= .(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为 y= x,而直线 AB的斜率为 ,故点 A,B不可能同在右支上,假设点 A在双曲线左支上,点 B在双曲线右支上,由双曲线的定义得|AF2|-|AF1|=2 ,|BF1|-|BF2|=2 ,|AF 2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即 |AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.同理,若点 A在双曲线右支上,点 B在双曲线左支上,同样成立 .- 7 -
